Violympic toán 8

tao khong co ten

Cho hình vuông ABCD có canh a. Gọi M,N,P,Q lần lượt nằm trên cạnh AB,BC,CD,DA. Tìm min,max của P=MN2 + NP2 + PQ2+QM2.

Y
24 tháng 5 2019 lúc 16:42

Gọi a là cạnh hình vuông ABCD

\(P=AM^2+BM^2+BN^2+CN^2+CP^2+DP^2+DQ^2+AQ^2\)

\(\ge\frac{\left(AM+BM\right)^2}{2}+\frac{\left(BN+CN\right)^2}{2}+\frac{\left(CP+DP\right)^2}{2}+\frac{\left(AQ+DQ\right)^2}{2}\)

( do \(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\) )

\(=4\cdot\frac{a^2}{2}=2a^2\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AM=BM\\BN=CN\\CP=DP\\AQ=DQ\end{matrix}\right.\)

<=> M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của AB,BC,CD,DA

Vậy \(P_{min}=2a^2\) <=> M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của AB,BC,CD,DA

\(P\le\left(AM+BM\right)^2+\left(BN+CN\right)^2+\left(CP+DP\right)^2+\left(DQ+AQ\right)^2\)\(=4a^2\)

Dấu "=" xảy ra \(\left\{{}\begin{matrix}2AM\cdot BM=0\\2BN\cdot CN=0\\2CP\cdot DP=0\\2DQ\cdot AQ=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}M\equiv A\\M\equiv B\end{matrix}\right.\\\left[{}\begin{matrix}N\equiv B\\N\equiv C\end{matrix}\right.\\\left[{}\begin{matrix}P\equiv C\\P\equiv D\end{matrix}\right.\\\left[{}\begin{matrix}Q\equiv D\\Q\equiv A\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) (*)

Vậy Max P = 4a^2 <=> (*)

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Lê Vũ Anh Thư
Xem chi tiết
Le Nguyen Minh Triet
Xem chi tiết
Lê Mai Phương
Xem chi tiết
Núi non tình yêu thuần k...
Xem chi tiết
Nii-chan
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Trần Quý
Xem chi tiết
Mạc Hy
Xem chi tiết
pro
Xem chi tiết