1) Xét tứ giác AKDM có \(\widehat{AKD}+\widehat{AMD}=90^0+90^0=180^0\)
Suy ra tứ giác AKDM nội tiếp
2) Xét △ABD và △AEC có
\(\widehat{BAE}=\widehat{EAC}\)(AE là phân giác)
\(\widehat{ABD}=\widehat{AEC}\)(2 góc nội tiếp cùng chắn cung AC)
Suy ra △ABD \(\sim\) △AEC(g-g)
\(\Rightarrow\frac{AB}{AD}=\frac{AE}{AC}\Rightarrow AD.AE=AB.AC\)
3) Vẽ KF⊥AC tại F
Ta có tứ giác AKDM nội tiếp\(\Rightarrow\widehat{AMK}=\widehat{ADK}\)(2 góc nội tiếp cùng chắn cung AK)
Xét △KFM và △AKD có
\(\widehat{AMK}=\widehat{ADK}\)(cmt)
\(\widehat{KFM}=\widehat{AKD}=90^0\)
Suy ra △KFM \(\sim\) △AKD(g-g)
\(\Rightarrow\frac{MK}{KF}=\frac{AD}{AK}\Rightarrow MK=AD.\frac{KF}{AK}=AD.sin_{BAC}\)
Vậy \(MK=AD.sin_{BAC}\)
4) Ta có \(2S_{ABC}=AB.AC.sin_{BAC}=AD.AE.sin_{BAC}\)
Ta lại có tứ giác AKEM có \(\widehat{KAD}+\widehat{ADK}=90^0\Rightarrow\widehat{DAM}+\widehat{AMK}=90^0\) hay AE⊥KM\(\Rightarrow2S_{AKEM}=AE.MK=AE.AD.sin_{BAC}\)
Vậy \(\frac{2S_{ABC}}{2S_{AKEM}}=\frac{AD.AE.sin_{BAC}}{AD.AE.sin_{BAC}}=1\) hay \(\frac{S_{ABC}}{S_{AKEM}}=1\)
