Violympic toán 9

Thư Nguyễn Nguyễn

Với các số ko âm a,b,c thỏa mãn a+b+c=1, tính Max, Min của P = \(\sqrt{\frac{a}{a+1}}+\sqrt{\frac{b}{b+1}}+\sqrt{\frac{c}{c+1}}\)

Chị @Akai Haruma giải hộ e bài này ạ

Akai Haruma
24 tháng 5 2019 lúc 23:50

Xin lỗi bạn bây giờ mình mới check được thông báo.

Bài này mình làm như sau:

Gọi biểu thức đã cho là $P$.

Tìm max:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

\(P^2\leq \left(\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\right)(1+1+1)(1)\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}=\frac{a}{a+b+a+c}+\frac{b}{b+c+b+a}+\frac{c}{c+a+c+b}\) (do $1=a+b+c$)

\(\leq \frac{a}{4}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)+\frac{b}{4}\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{b+a}\right)+\frac{c}{4}\left(\frac{1}{c+a}+\frac{1}{c+b}\right)\)

\(\Rightarrow \frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\leq \frac{1}{4}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{a+b}+\frac{a}{a+c}+\frac{c}{c+a}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{b+c}\right)=\frac{3}{4}(2)\)

Từ \((1);(2)\Rightarrow P^2\leq \frac{3}{4}.3=\frac{9}{4}\Rightarrow P\leq \frac{3}{2}\)

Vậy \(P_{\max}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)

------------------------------------

Tìm min

Sử dụng BĐT quen thuộc \(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\geq \sqrt{x+y+z}, \forall x,y,z\geq 0\) (CM BĐT này đơn giản bằng cách bình phương khai triển)

Ta có:
\(P\geq \sqrt{\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}}\)

\(\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\geq \frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+c+1}+\frac{c}{c+b+1}=\frac{a}{a+1}+\frac{b+c}{b+c+1}=\frac{a}{a+1}+\frac{1-a}{2-a}\)

Xét hiệu \(\frac{a}{a+1}+\frac{1-a}{2-a}-\frac{1}{2}=\frac{a-1}{a+1}-\frac{a-1}{2-a}=\frac{3a(1-a)}{2(a+1)(2-a)}\geq 0, \forall 0\leq a\leq 1\)

\(\Rightarrow \frac{a}{a+1}+\frac{1-a}{2-a}\geq \frac{1}{2}\)

Do đó: \(P\geq \sqrt{\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}}\geq \sqrt{\frac{1}{2}}\)

Vậy \(P_{\min}=\sqrt{\frac{1}{2}}\Leftrightarrow (a,b,c)=(1,0,0)\) hoặc các bộ hoán vị của chúng.

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Phác Chí Mẫn
Xem chi tiết
Tống Cao Sơn
Xem chi tiết
nguyentrongquan123
Xem chi tiết
Lê Ngọc Phương Anh
Xem chi tiết
bach nhac lam
Xem chi tiết
Phác Chí Mẫn
Xem chi tiết
Văn Thắng Hồ
Xem chi tiết
EDOGAWA CONAN
Xem chi tiết
Angela jolie
Xem chi tiết