Question

cho hai số thực a, b thỏa mãn \(a^2+b^2\le a+b\)

cm \(a+b\le2\)

Answer 1

Lời giải:

\((a-b)^2\geq 0\Rightarrow a^2+b^2\geq 2ab\Rightarrow 2(a^2+b^2)\geq (a+b)^2\)

\(\Rightarrow a^2+b^2\geq \frac{(a+b)^2}{2}\)

Kết hợp với điều kiện đề bài:

\(a+b\geq a^2+b^2\geq \frac{(a+b)^2}{2}\)

\(\Leftrightarrow 2(a+b)-(a+b)^2\geq 0\)

\(\Leftrightarrow (a+b)[2-(a+b)]\geq 0\)

Mà \(a+b\geq a^2+b^2\geq 0, \forall a,b\). Do đó \(=2-(a+b)\geq 0\Rightarrow a+b\leq 2\) (đpcm)