Violympic toán 9

dbrby

cho p là tích của n số nguyên tố đầu tiên (n ∈ N*). Cmr : \(\sqrt{p+1}\) không là một số nguyên

Trần Trung Nguyên
15 tháng 5 2019 lúc 21:02

Nếu \(\sqrt{p+1}\) không phải là số nguyên thì ta cần chứng minh p+1 không phải là một số chính phương

Vì p là tích của n số nguyên tố đầu tiên nên p chia hết cho 2 và p không chia hết cho 4 (*)

Giả sử phản chứng p+1 là số chính phương . Đặt p+1 = m² (m∈N)
Vì p chẵn nên p+1 lẻ => m² lẻ => m lẻ.
Đặt m = 2k+1 (k∈N)

Ta có m² = 4k² + 4k + 1 => p+1 = 4k² + 4k + 1 => p = 4k² + 4k = 4k(k+1) chia hết cho 4. Mâu thuẫn với (*)
Vậy giả sử phản chứng là sai, tức là p+1 không phải là số chính phương

Vậy \(\sqrt{p+1}\) không phải là số nguyên

Bình luận (0)
Y
15 tháng 5 2019 lúc 21:13

+ p là tích n số nguyên tố đầu tiên ( \(n\in N\)* )

=> p chia hết cho 2 và p ko chia hết cho 4

=> p chia 4 dư 2

=> p + 1 chia 4 dư 3

=> p + 1 ko là số chính phương

( số chính phương chia 4 dư 0 hoặc 1 )

=> \(\sqrt{p+1}\) k là số nguyên

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Minh Hiếu
Xem chi tiết
Vấn Đề Nan Giải
Xem chi tiết
Trần Việt Khoa
Xem chi tiết
Trần Việt Khoa
Xem chi tiết
Nguyễn Trọng Chiến
Xem chi tiết
Nguyễn Đức Lâm
Xem chi tiết
Lê Gia Bảo
Xem chi tiết
Nguyễn Trần Duy Thiệu
Xem chi tiết
em ơi
Xem chi tiết