Question

Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính BC. Điểm A thuộc nửa đường tròn sao cho AC < AB. Dựng về phía ngoài tam giác ABC một hình vuông ACED. Tia EA cắt đường tròn tại F. Nối BF cắt ED tại K. a) Chứng minh B, C, D, K thuộc một đường tròn. b) Chứng minh AB = EK

Answer 1

a) Ta có \(\widehat{DAB}=\widehat{DAC}+\widehat{BAC}=90^0+90^0=180^0\)

Suy ra D,A,B thẳng hàng

Ta lại có \(\widehat{KBC}=\widehat{FAC}\)(2 góc nội tiếp cùng chắn cung FC)

Và \(\widehat{FAC}=45^0\)(tính chất của hình vuông trong hình vuông ACED)

Suy ra \(\widehat{KBC}=45^0\)

Mà \(\widehat{CDE}=45^0\)(tính chất của hình vuông trong hình vuông ACED)

Suy ra \(\widehat{KBC}=\widehat{KDC}\)

Suy ra tứ giác BCKD nội tiếp hay B,C,D,K thuộc một đường tròn

b) Ta có BCKD nội tiếp\(\Rightarrow\widehat{CKE}=\widehat{DBC}\)

Xét △CEK và △CAB có

\(\widehat{CKE}=\widehat{DBC}\)(cmt)

EC=AC(2 cạnh hình vuông ACED)

\(\widehat{KEC}=\widehat{BAC}\left(=90^0\right)\)

Suy ra △CEK = △CAB\(\Rightarrow AB=EK\)