Lời giải:
Đặt \(\sqrt{2}+\sqrt{3}=a; \sqrt{3}-\sqrt{2}=b\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^2+b^2=10\\ ab=1\end{matrix}\right.\)
\(A=a^{2004}+b^{2004}=(a^{1002}+b^{1002})^2-2(ab)^{1002}\)
\(=[(a^2)^{501}+(b^2)^{501}]^2-2\)
Theo hằng đẳng thức: \((a^2)^{501}+(b^2)^{501}\vdots a^2+b^2\Leftrightarrow (a^2)^{501}+(b^2)^{501}\vdots 10\)
Do đó: \(=[(a^2)^{501}+(b^2)^{501}]^2\) có tận cùng là 0
\(\Rightarrow A=[(a^2)^{501}+(b^2)^{501}]^2-2\) có tận cùng là 8.
\(A=\left(5+2\sqrt{6}\right)^{1002}+\left(5-2\sqrt{6}\right)^{1002}\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a=5+2\sqrt{6}\\b=5-2\sqrt{6}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=10\\ab=1\end{matrix}\right.\)
Theo Viet đảo, a và b là nghiệm của \(x^2-10x+1=0\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2=10a-1\\b^2=10b-1\end{matrix}\right.\)
Đặt \(S\left(n\right)=a^n+b^n\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}S\left(0\right)=1+1=2\\S\left(1\right)=a+b=10\end{matrix}\right.\)
\(S\left(n+2\right)=a^{n+2}+b^{n+2}=a^n.a^2+b^n.b^2\)
\(=a^n\left(10a-1\right)+b^n\left(10b-1\right)=10a^{n+1}+10b^{n+1}-\left(a^n+b^n\right)\)
\(=10S\left(n+1\right)-S_n\)
Do \(S\left(0\right);S\left(1\right)\) nguyên \(\Rightarrow S\left(2\right)\) nguyên \(\Rightarrow S\left(3\right)\) nguyên... \(\Rightarrow S\left(n\right)\) nguyên với mọi n
\(\Rightarrow S\left(n+2\right)+S\left(n\right)=10.S\left(n+1\right)\Rightarrow S\left(n+2\right)+S\left(n\right)⋮10\)
\(\Rightarrow\) Nếu \(S\left(k\right)\) có tận cùng là \(x\) thì \(S\left(k+2\right)\) có tận cùng là \(10-x\)
\(\Rightarrow S\left(k+4a\right)\) có tận cùng giống \(S\left(k\right)\)
Do \(S\left(0\right)=2\Rightarrow S\left(4k\right)\) có tận cùng bằng \(2\) với mọi k nguyên
\(\Rightarrow S\left(1000\right)\) có tận cùng bằng 2 \(\Rightarrow S\left(1002\right)\) có tận cùng bằng 8
