Question

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA=2a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm cạnh SD. Tính tan góc tạo bởi hai mặt phẳng (AMC) và (SBC).

Answer 1

Qua S kẻ đường thẳng d song song AD

Kéo dài AM cắt d tại N \(\Rightarrow CN\) là giao tuyến của (AMC) và (SBC)

Dễ dàng nhận thấy \(SADN\), \(SBCN\) là hình chữ nhật

Từ A kẻ \(AH\perp SB\), từ D kẻ \(DK\perp CN\)

\(\Rightarrow CN\perp\left(AHKD\right)\Rightarrow\widehat{AKH}\) là góc giữa (AMC) và (SBC)

\(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{SA^2}+\frac{1}{AB^2}\Rightarrow AH=\frac{SA.AB}{\sqrt{SA^2+AB^2}}=\frac{2a\sqrt{5}}{5}\); \(HK=BC=a\)

\(\Rightarrow tan\widehat{AKH}=\frac{AH}{HK}=\frac{2\sqrt{5}}{5}\)