Question

Tìm các số nguyên dương n sao cho \(\frac{n^2}{60-n}\) là một số nguyên tố

Answer 1

Lời giải:
Đặt \(\frac{n^2}{60-n}=p(p\in\mathbb{P})\)

\(\Rightarrow n^2=p(60-n)\vdots p\Rightarrow n\vdots p(1)\Rightarrow n^2\vdots p^2\) hay \(p(60-n)\vdots p^2\)

\(\Rightarrow 60-n\vdots p(2)\)

Từ \((1); (2)\Rightarrow 60-n+n\vdots p\) hay $60\vdots p$. Mà $p$ là số nguyên tố nên $p=2,3,5$

Nếu $p=2$:

\(n^2=2(60-n)\)

\(\Leftrightarrow n^2+2n-120=0\)

\(\Leftrightarrow (n-10)(n+12)=0\Rightarrow n=10\) (do $n$ nguyên dương)

Nếu $p=3$:

\(n^2=3(60-n)\Leftrightarrow n^2+3n-180=0\)

\(\Leftrightarrow (n-12)(n+15)=0\Rightarrow n=12\) (do $n$ nguyên dương)

Nếu $p=5$:

\(n^2=5(60-n)\Leftrightarrow n^2+5n-300=0\)

\(\Leftrightarrow (n-15)(n+20)=0\Rightarrow n=15\) (do $n$ nguyên dương)

Vậy.........