Violympic toán 9

Nguyễn Nhật Tiên Tiên

Cho tam giác ABC (AB<AC) nội tiếp đường tròn tâm O. M là một điểm trên cung BC không chứa A. Gọi D,E,F lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên các ường thẳng BC,CA,AB. Chứng minh rằng:

a, 4 điểm M,D,B,F thuộc 1 đường tròn và 4 điểm M,D,E,C thuộc 1 đường tròn

b, 3 điểm D,E,F thẳng hàng

c, \(\frac{BC}{MD}=\frac{CA}{ME}+\frac{AB}{MF}\)

Akai Haruma
15 tháng 5 2019 lúc 17:13

Lời giải:

a)

Từ giả thiết suy ra \(MD\perp BC, ME\perp AC, MF\perp AB\)

\(\Rightarrow \widehat{MFB}=\widehat{MDB}=\widehat{MDC}=\widehat{MEC}=90^0\)

Tứ giác $MDBF$ có tổng 2 góc đối \(\widehat{MFB}+\widehat{MDB}=90^0+90^0=180^0\) nên $MDBF$ là tgnt.

Tứ giác $MDEC$ có \(\widehat{MDC}=\widehat{MEC}(=90^0)\) và cùng nhìn cạnh $MC$ nên $MDEC$ là tứ giác nội tiếp.

b)

Vì $MDBF$ và $MDEC$ nội tiếp (cmt) và tứ giác $ABMC$ cũng nội tiếp $(O)$ nên:

\(\left\{\begin{matrix} \widehat{FDM}=\widehat{FBM}=180^0-\widehat{ABM}\\ \widehat{MDE}=180^0-\widehat{ECM}=180^0-\widehat{ACM}\\ \widehat{ABM}+\widehat{ACM}=180^0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \widehat{FDE}=\widehat{FDM}+\widehat{MDE}=360^0-(\widehat{ABM}+\widehat{ACM})=360^0-180^0=180^0\)

\(\Rightarrow F,D,E\) thẳng hàng.

c)

Xét tam giác $BMD$ và $AME$ có:

\(\widehat{BDM}=\widehat{AEM}(=90^0)\)

\(\widehat{MBD}=\widehat{MAE}\) (góc nt cùng chắn cung CM)

\(\Rightarrow \triangle BMD\sim \triangle AME(g.g)\Rightarrow \frac{BD}{MD}=\frac{AE}{ME}(1)\)

Hoàn toàn TT: \(\triangle CMD\sim \triangle AMF(g.g)\Rightarrow \frac{CD}{MD}=\frac{AF}{MF}(2)\)

Xét tam giác $MEC$ và $MFB$ có:

\(\widehat{MEC}=\widehat{MFB}=90^0\)

\(\widehat{MCE}=\widehat{MBF}(=180^0-\widehat{ABM})\)

\(\Rightarrow \triangle MEC\sim \triangle MFB(g.g)\Rightarrow \frac{CE}{ME}=\frac{BF}{MF}(3)\)

Từ \((1);(2);(3)\Rightarrow \frac{BC}{MD}=\frac{BD}{MD}+\frac{CD}{MD}=\frac{AE}{ME}+\frac{AF}{MF}=\frac{AE+CE}{ME}+\frac{AF-FB}{MF}-\frac{CE}{ME}+\frac{BF}{MF}\)

\(=\frac{AC}{ME}+\frac{EB}{MF}\)

Ta có đpcm.

Bình luận (0)
Akai Haruma
15 tháng 5 2019 lúc 17:17

Hình vẽ:

Violympic toán 9

Bình luận (1)
Lê Đức Nam
19 tháng 5 2019 lúc 22:27

cậu làm đc câu mấy rồi

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Trọng Chiến
Xem chi tiết
Trúc Giang
Xem chi tiết
Phạm Thế Duy
Xem chi tiết
Nguyễn Minh Trâm
Xem chi tiết
Vũ Cường
Xem chi tiết
Lê Anh Ngọc
Xem chi tiết
Mai Tiến Đỗ
Xem chi tiết
Kamato Heiji
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết