Violympic toán 9

Anh Pha

Cho 3 số thực thõa mãn:

\(a+b+c+ab+bc+ac=6\)

Chứng minh: \(a^2+b^2+c^2\ge3\)

Akai Haruma
14 tháng 5 2019 lúc 10:40

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(a^2+1\geq 2a; b^2+1\geq 2b; c^2+1\geq 2c\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+3\geq 2(a+b+c)(1)\)

\(a^2+b^2\geq 2ab; b^2+c^2\geq 2bc; c^2+a^2\geq 2ca\)

\(\Rightarrow 2(a^2+b^2+c^2)\geq 2(ab+bc+ac)(2)\)

Lấy \((1)+(2)\Rightarrow 3(a^2+b^2+c^2)+3\geq 2(a+b+c+ab+bc+ac)=2.6=12\)

\(\Leftrightarrow 3(a^2+b^2+c^2)\geq 9\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\geq 3\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Big City Boy
Xem chi tiết
Sendaris Thalleous
Xem chi tiết
Phạm Duy Phát
Xem chi tiết
🍀Cố lên!!🍀
Xem chi tiết
Nguyễn Lê Thành Tín
Xem chi tiết
Tường Nguyễn Thế
Xem chi tiết
Vương Thiên Nhi
Xem chi tiết
Nhã Doanh
Xem chi tiết
Vo Thi Minh Dao
Xem chi tiết