Lời giải:
a)
Ta thấy \(\widehat{BEH}=90^0\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn $(O)$)
\(\Rightarrow BE\perp EH(1)\)
Theo giả thiết: \(BA\perp AC\Rightarrow BE\perp AC(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow EH\parallel AC\)
Mặt khác:
\(\widehat{AEF}=90^0-\widehat{BEO}=90^0-\widehat{OBE}\) (do tam giác $OBE$ cân tại O)
\(=90^0-\widehat{EBH}=\widehat{EHB}\)
Mà \(\widehat{EHB}=\widehat{BCF}\) (do $EH\parallel AC$ mà 2 góc này ở vị trí đồng vị)
\(\Rightarrow \widehat{AEF}=\widehat{BCF}\)
\(\Rightarrow BEFC\) là tứ giác nội tiếp
b) Sửa lại: $AEHF$ nội tiếp
Vì $AH\perp OH$ nên $AH$ là tiếp tuyến của $(O)$
\(\Rightarrow \widehat{EHA}=\widehat{EBH}\) (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung thì bằng góc nội tiếp chắn cung đó)
Theo phần a, $BEFC$ nội tiếp nên \(\widehat{EBH}=\widehat{EFA}\) \((=180^0-\widehat{EFC})\)
Do đó: \(\widehat{EHA}=\widehat{EFA}\). Mà 2 góc này cùng nhìn cạnh $EA$ nên tứ giác $AEHF$ nội tiếp.
c)
Tứ giác $AEHF$ nội tiếp lại có 2 góc vuông kề nhau \(\widehat{HEA}=\widehat{EAF}=90^0\) nên $AEHF$ là hình chữ nhật.
Sử dụng tính chất hình chữ nhật ta có:
\(\left(\frac{FE}{FH}\right)^2=\frac{HE^2+HF^2}{FH^2}=1+\frac{HE^2}{HF^2}=1+\frac{HE^2}{AE^2}(3)\)
Tam giác vuông $AHB$ vuông tại $H$ có $HE\perp AB$, áp dụng hệ thức lượng của tam giác vuông: \(HE^2=EA.EB(4)\)
Từ \((3);(4)\Rightarrow \left(\frac{FE}{FH}\right)^2=1+\frac{EA.EB}{AE^2}=1+\frac{EB}{EA}\) (đpcm)
