Ta có SO là giao tuyến của (SAC) và (SBD), mà (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với (ABCD) \(\Rightarrow SO\perp\left(ABCD\right)\)
Cạnh hình thoi: \(AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{\left(\frac{AC}{2}\right)^2+\left(\frac{BD}{2}\right)^2}=2a\)
\(\Rightarrow AB=AD=BD\Rightarrow\Delta ABD\) đều
Từ O kẻ \(OH\perp AB\Rightarrow AB\perp\left(SHO\right)\)
\(OH=\frac{1}{2}.\frac{2a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)
Từ O kẻ \(OK\perp SH\Rightarrow OK\perp\left(SAB\right)\Rightarrow OK=d\left(O;\left(SAB\right)\right)=\frac{a\sqrt{3}}{4}\)
Áp dụng hệ thức lượng:
\(\frac{1}{OK^2}=\frac{1}{OH^2}+\frac{1}{SO^2}\Rightarrow\frac{1}{SO^2}=\frac{1}{OK^2}-\frac{1}{OH^2}\Rightarrow SO=\frac{OK.OH}{\sqrt{OH^2-OK^2}}=\frac{a}{2}\)
\(\Rightarrow V=\frac{1}{3}SO.AC.BD=\frac{1}{3}.\frac{a}{2}.2\sqrt{3}a.2a=\frac{2a^3\sqrt{3}}{3}\)