Bài 3: Những hằng đẳng thức đáng nhớ

Nguyễn Quỳnh Trang

1, Cho a + b = 2

Tính a2 + b2 + 6ab

2, Tìm a, b sao cho a2 + b2 - ab - a - b + 1 = 0

3, Cho x + y = x2 + y2 = x3 + y3

Tìm x, y

4, Cho ab + bc + ca = 1

Rút gọn: P = \(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}-\frac{2\left(a+b+c\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)

5, Cho P = x3 + y3 + 3xy là số nguyên tố, x và y \(\in N\). Tìm x,y

Akai Haruma
8 tháng 5 2019 lúc 0:59

Bài 1: Chưa đủ dữ kiện để tính. Từ $a+b=2$ bạn chỉ có thể tính $a^2+b^2+2ab$

Bài 2:

\(a^2+b^2-ab-a-b+1=0\)

\(\Leftrightarrow 2a^2+2b^2-2ab-2a-2b+2=0\)

\(\Leftrightarrow (a^2-2ab+b^2)+(a^2-2a+1)+(b^2-2b+1)=0\)

\(\Leftrightarrow (a-b)^2+(a-1)^2+(b-1)^2=0\)

\((a-b)^2\geq 0; (a-1)^2\geq 0;(b-1)^2\geq 0, \forall a,b\in\mathbb{R}\)

\(\Rightarrow (a-b)^2+(a-1)^2+(b-1)^2\geq 0\)

Dấu "=" xảy ra khi \((a-b)^2=(a-1)^2=(b-1)^2=0\Leftrightarrow a=b=1\)

Bình luận (0)
Akai Haruma
8 tháng 5 2019 lúc 1:08

Bài 3:

\(x+y=x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)\)

\(\Leftrightarrow (x+y)(x^2-xy+y^2-1)=0\)

\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} x+y=0\\ x^2-xy+y^2-1=0\end{matrix}\right.\).

Nếu $x+y=0$ \(\Rightarrow x^2+y^2=x+y=0\)

\(x^2\geq 0, y^2\geq 0, \forall x,y\) nên để tổng của chúng bằng $0$ thì \(x^2=y^2=0\Leftrightarrow x=y=0\) (thỏa mãn)

Nếu \(x^2-xy+y^2-1=0\)

\(\Leftrightarrow (x^2+y^2)-xy-1=0\)

\(\Leftrightarrow x+y-xy-1=0\)

\(\Leftrightarrow (x-1)(1-y)=0\) \(\Rightarrow \left[\begin{matrix} x=1\\ y=1\end{matrix}\right.\)

\(x=1\Rightarrow 1+y=1+y^2=1+y^3\)

\(\Leftrightarrow y=y^2=y^3\Rightarrow y=0\) hoặc $y=1$

\(y=1\Rightarrow x+1=x^2+1=x^3+1\)

\(\Leftrightarrow x=x^2=x^3\Rightarrow x=0\) hoặc $x=1$.

Vậy $(x,y)=(0,0); (1,0), (0,1), (1,1)$

Bình luận (0)
Akai Haruma
8 tháng 5 2019 lúc 1:11

Bài 4:

\(ab+bc+ac=1\)

\(\Rightarrow a^2+1=a^2+ab+bc+ac=a(a+b)+c(b+a)=(a+c)(a+b)\)

Hoàn toàn tương tự:

\(b^2+1=(b+c)(b+a); c^2+1=(c+a)(c+b)\)

Do đó:

\(P=\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}-\frac{2(a+b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\frac{1}{(a+b)(a+c)}+\frac{1}{(b+c)(b+a)}+\frac{1}{(c+a)(c+b)}-\frac{2(a+b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\)

\(=\frac{(b+c)+(a+c)+(a+b)}{(a+b)(b+c)(c+a)}-\frac{2(a+b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\)

\(=\frac{2(a+b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}-\frac{2(a+b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}=0\)

Vậy $P=0$

Bình luận (0)
Akai Haruma
8 tháng 5 2019 lúc 1:14

Bài 5:

Mình đoán là bạn chép thiếu đề. \(P=x^3+y^3+3xy-1\) đúng không?

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
tiêu mỹ ly
Xem chi tiết
Lê Thị Hồng Vân
Xem chi tiết
Đỗ Linh Chi
Xem chi tiết
Đỗ Linh Chi
Xem chi tiết
Phan Hà Thanh
Xem chi tiết
Phan Hà Thanh
Xem chi tiết
# TaTah
Xem chi tiết
Trang
Xem chi tiết
Mai Tiến Đỗ
Xem chi tiết