Violympic toán 8

Linh nè

Cho a, b, c là 3 số thực dương. CMR

\(\frac{\left(a+b\right)^2}{ab}+\frac{\left(b+c\right)^2}{bc}+\frac{\left(c+a\right)^2}{ca}\ge9+2\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)\)

 Mashiro Shiina
7 tháng 5 2019 lúc 12:43

\(\frac{\left(a+b\right)^2}{ab}+\frac{\left(b+c\right)^2}{bc}+\frac{\left(c+a\right)^2}{ac}=\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+6\)

\(bđt\Leftrightarrow\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\ge3+2\left(\frac{a}{b+c}+\frac{c}{a+b}+\frac{b}{a+c}\right)\)

Mà: \(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}=a\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+b\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)+c\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge\frac{4a}{b+c}+\frac{4b}{a+c}+\frac{4c}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow2\left(\frac{a}{b+c}+\frac{c}{a+b}+\frac{b}{a+c}\right)\ge3\Leftrightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{c}{a+b}+\frac{b}{a+c}\ge\frac{3}{2}\)

bđt cuối đúng theo Nesbit. Dấu "=" xảy ra khi a=b=c

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Trần Anh Thơ
Xem chi tiết
asssssssaasawdd
Xem chi tiết
Trần Anh Thơ
Xem chi tiết
mr. killer
Xem chi tiết
Thỏ bông
Xem chi tiết
๖ۣۜDũ๖ۣۜN๖ۣۜG
Xem chi tiết
Lunox Butterfly Seraphim
Xem chi tiết
Xuan Xuannajimex
Xem chi tiết
Trần Anh Thơ
Xem chi tiết