Violympic toán 9

Nguyễn Thùy Chi

cho x,y là những số không âm thỏa mãn x2+y2=1

Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của:\(P=\sqrt{1+2x}+\sqrt{1+2y}\)

Khôi Bùi
5 tháng 5 2019 lúc 22:31

Min : Do x ; y không âm , \(x^2+y^2=1\) \(\Rightarrow\left|x\right|;\left|y\right|\le1\)

\(\Rightarrow0\le x;y\le1\)

\(\Rightarrow xy\ge0;x\ge x^2;y\ge y^2\)

\(P=\sqrt{1+2x}+\sqrt{1+2y}\)

\(\Rightarrow P^2=1+2x+1+2y+2\sqrt{1+2x+2y+2xy}\)

\(\ge2+2.1+2\sqrt{1+2.1+0}=4+2\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow P\ge\sqrt{4+2\sqrt{3}}=\sqrt{3}+1\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0;y=1\\x=1;y=0\end{matrix}\right.\)

Max : Áp dụng BĐT phụ : \(\sqrt{x}+\sqrt{y}\le\sqrt{2\left(x+y\right)}\) , ta có :

\(P=\sqrt{1+2x}+\sqrt{1+2y}\le\sqrt{2\left(1+2x+1+2y\right)}\)

\(=\sqrt{2\left[2+2\left(x+y\right)\right]}\le\sqrt{2\left[2+2\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}\right]}=\sqrt{2\left(2+2\sqrt{2}\right)}=\sqrt{4+4\sqrt{2}}=2\sqrt{1+\sqrt{2}}\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Lê Bảo Nghiêm
Xem chi tiết
🍀Cố lên!!🍀
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Nguyễn Thế Hiếu
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Nguyễn Trọng Chiến
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Thành Nguyễn
Xem chi tiết