Violympic toán 9

Lưu Hải Dương

Cho 3 số thực dương abc

CMR \(\frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{b^2+c^2}{b+c}=\frac{a^2+c^2}{a+c}\le\frac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a+b+c}\)

Akai Haruma
7 tháng 5 2019 lúc 22:24

Lời giải:

Sử dụng pp biến đổi tương đương. Ta có:

\(\frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{b^2+c^2}{b+c}+\frac{a^2+c^2}{a+c}\leq \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c}\)

\(\Leftrightarrow \left(\frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{b^2+c^2}{b+c}+\frac{a^2+c^2}{a+c}\right)(a+b+c)\leq 3(a^2+b^2+c^2)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+\frac{c(a^2+b^2)}{a+b}+b^2+c^2+\frac{a(b^2+c^2)}{b+c}+c^2+a^2+\frac{b(a^2+c^2)}{a+c}\leq 3(a^2+b^2+c^2)\)

\(\Leftrightarrow \frac{c(a^2+b^2)}{a+b}+\frac{a(b^2+c^2)}{b+c}+\frac{b(a^2+c^2)}{a+c}-(a^2+b^2+c^2)\leq 0\)

\(\Leftrightarrow \frac{c(a^2+b^2)}{a+b}-c^2+\frac{a(b^2+c^2)}{b+c}-a^2+\frac{b(a^2+c^2)}{a+c}-b^2\leq 0\)

\(\Leftrightarrow \frac{ac(a-c)+bc(b-c)}{a+b}+\frac{ab(b-a)+ac(c-a)}{b+c}+\frac{ab(a-b)+bc(c-b)}{a+c}\leq 0\)

\(\Leftrightarrow ac(c-a)\left(\frac{1}{b+c}-\frac{1}{a+b}\right)+bc(b-c)\left(\frac{1}{a+b}-\frac{1}{a+c}\right)+ab(a-b)\left(\frac{1}{a+c}-\frac{1}{b+c}\right)\leq 0\)

\(\Leftrightarrow \frac{-ac(c-a)^2}{(b+c)(a+b)}+\frac{-bc(b-c)^2}{(a+b)(a+c)}+\frac{-ab(a-b)^2}{(a+c)(b+c)}\leq 0\)

\(\Leftrightarrow \frac{ac(c-a)^2}{(b+c)(a+b)}+\frac{bc(b-c)^2}{(a+b)(a+c)}+\frac{ab(a-b)^2}{(a+c)(b+c)}\geq 0\) (luôn đúng với mọi $a,b,c>0$)

Ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

Bình luận (1)
Nguyễn Huy Thắng
7 tháng 5 2019 lúc 23:38

bai lam don gian 3 dong

\(\frac{3(a^2+b^2+c^2)}{(a+b+c)}\ge\frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{b^2+c^2}{b+c}+\frac{c^2+a^2}{c+a}\)

\(\Leftrightarrow3(a^2+b^2+c^2)(a+b)(b+c)(c+a)\ge(a+b+c)\left(\sum_{cyc}(a^2+b^2)(c+a)(c+b)\right)\)

\(\Leftrightarrow\sum_{perms}a^2b(a-b)^2\ge0\)

Bình luận (3)

Các câu hỏi tương tự
bach nhac lam
Xem chi tiết
Nguyễn Minh Nguyệt
Xem chi tiết
Võ Hồng Phúc
Xem chi tiết
asuna
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Ngọc Hân
Xem chi tiết
Angela jolie
Xem chi tiết
Aiken
Xem chi tiết
bach nhac lam
Xem chi tiết
fghj
Xem chi tiết