Question

Cho phương trình: x² -2(m+2)x +m² +3m -2 =0 (1) (m là tham số)

a) Giải phương trình (1) khi m = 3

b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x₁, x₂ sao cho biểu thức A= 2018+ 3x₁x₂ -x₁² -x₂² đạt giá trị nhỏ nhất.

Answer 1

a. Khi m = 3, ta có pt:

\(x^2-10x+16=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-8x-2x+16=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x-8\right)-2\left(x-8\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x-8\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=8\end{matrix}\right.\)

b. \(\Delta'=b'^2-ac=\left(m+2\right)^2-m^2-3m+2=m+6\)

Để pt có nghiệm phân biệt => \(\Delta'>0\Rightarrow m+6>0\Rightarrow m>-6\)

Hệ thức vi-et: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m+4\\x_1.x_2=m^2+3m-2\end{matrix}\right.\)

\(x_1^2+x_2=2m^2+10m+20\)

\(A=2018+3\left(m^2+3m-2\right)-\left(2m^2+10m+20\right)=m^2-m+1992=\left(m-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{7967}{4}\ge\frac{7967}{4}\)

Vậy Min A = \(\frac{7967}{4}\Leftrightarrow m=\frac{1}{2}\)