a. Xét \(\Delta BAI\) và \(\Delta BEI\) có:
\(\left\{{}\begin{matrix}BI:Chung\\\widehat{ABI}=\widehat{IBE}\\\widehat{BAI}=\widehat{BEI}\left(=90^0\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta BAI=\Delta BEI\left(gcg\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}BA=BI\\AI=EI\end{matrix}\right.\)
Vậy BI là trung trực của AE.
b. Xét \(\Delta DIA\) và \(\Delta CIE\)
\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{IAD}=\widehat{IEC}\left(=90^0\right)\\DA=EC\left(gt\right)\\AI=IE\left(\Delta BAI=\Delta BEI\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta DIA=\Delta CIE\left(cgc\right)\)
\(\Rightarrow DI=IC\left(1\right)\)
Ta lại có: AI < DI (Vì AI là cạnh góc vuông, DI là cạnh huyền ) (2)
\(\underrightarrow{\left(1\right)\left(2\right)}IA< IC\)
c. Qua I vẽ BS cắt DC tại S.
Xét \(\Delta BSD\) và \(\Delta BSC\)
\(\left\{{}\begin{matrix}BD=BC\left(BA=BE;AD=EC\right)\\\widehat{BDS}=\widehat{SBC}\left(gt\right)\\BS:Chung\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta BSD=\Delta BSC\left(cgc\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{BSD}=\widehat{BSC}\)
Mà \(\widehat{BSD}+\widehat{BSC}=180^0\)
\(\Rightarrow\widehat{BSD}=\widehat{BSC}=\frac{180^0}{2}=90^0\)
Hay BS là đường cao của \(\Delta ABC\)
Ta có: CA cũng là đường cao của \(\Delta ABC\)
Mà chúng cắt nhau tại I.
\(\Rightarrow\) I là giao điểm 3 đường cao.
Mà ED cũng là đường cao.
Vậy 3 điểm E, D, I thẳng hàng.
