Với mọi số thực x; y ta luôn có: \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\)
\(\Rightarrow\frac{\left(x+y\right)^2}{4}+\left(x+y\right)\ge8\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2+4\left(x+y\right)-32\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+8\right)\left(x+y-4\right)\ge0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x+y\le-8\\x+y\ge4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(x+y\right)^2\ge16\)
\(P=x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\ge\frac{16}{2}=8\)
\(\Rightarrow P_{min}=8\) khi \(x=y=2\)
Ta có: \(xy+x+y=8\)
\(=>x+y=8-xy\)
Ta có: \(P=x^2+y^2\)
\(=x^2+2xy+y^2-2xy\)
\(=\left(x+y\right)^2-2xy\)
\(=\left(8-xy\right)^2-2xy\) (vì x+y=8-xy)
\(=64-16xy+x^2y^2-2xy\)
\(=x^2y^2-18xy+64\)
\(=\left(x^2y^2-2.xy.8+81\right)-17\)
\(=\left(xy-9\right)^2-17\ge-17\) [vì \(\left(xy-9\right)^2\ge0\)]
Dấu "=" xảy ra <=> xy-9=0
<=>xy=9
=>x+y=-1
Mk chỉ làm đc đến đây thôi, chưa tìm ra GTNN đạt khi nào. Bn thử nghĩ tiếp xem sao. Nếu đề cho x,y là số hữu tỉ chắc sẽ dễ hơn (mk nghĩ z).
