Violympic toán 9

EDOGAWA CONAN

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R . Điểm C cố định trên nửa đường tròn . Điểm M thuộc cung AC . Kẻ MH vuông góc với AB . Mb cắt CA tại E . Kẻ EI vuông góc với AB . Gọi K là giao điểm của AC và MH . CMR

a , tứ giác BHKC nội tiếp .

b , AK.AC = AM.AM

c , AE.AC + BE.BM không phụ thuộc vị trí điểm M .

Kim So Hyun
6 tháng 3 2020 lúc 19:04

A B M C E I H K P Q

a) Xét (O) có: \(\widehat{ACB}\) \(=90^0\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

hay \(\widehat{KCB}\) \(=90^0\)

Lại có: \(MH\perp AB\left(K\in MH\right)\)

\(\Rightarrow\) \(KH\perp AB\)

\(\Rightarrow\) \(\widehat{KHB}\) \(=90^0\)

\(\widehat{KCB}+\widehat{KHB}\) \(=90^0+90^0=180^0\)

\(\Rightarrow\) Tứ giác KCBH nội tiếp đường tròn (theo dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

b) Kẻ MH cắt (O) tại P, EI cắt (O) tại Q.

Xét (O) có: \(\left\{{}\begin{matrix}MP\perp AB\\AB=2R\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow MH=HP\) (quan hệ vuông góc đường kính và dây)

\(\Rightarrow\) \(\stackrel\frown{AM}=\stackrel\frown{AP}\) (đl liên hệ giữa dây và cung)

Xét (O) có:

\(\widehat{MCA}=\stackrel\frown{AM}/2\) (đl góc nội tiếp)

\(\widehat{AMP}=\stackrel\frown{AP}/2\) (đl góc nội tiếp)

\(\stackrel\frown{AM}=\stackrel\frown{AP}\) (cmtrn)

\(\Rightarrow\) \(\widehat{MCA}=\widehat{AMP}\) hay \(\widehat{MCA}=\widehat{AMK}\)

Xét ΔMKA∼ΔCMA vì:

\(\widehat{MAC}:chung\)

\(\widehat{AMK}=\widehat{MCA}\) (cmtrn)

\(\Rightarrow\frac{AK}{MA}=\frac{MA}{AC}\Leftrightarrow AK.AC=AM^2\) (đpcm)

c) Vì \(EI\perp AB\)

\(\Rightarrow\) \(\widehat{EIA}\) \(=90^0\)

Xét ΔAEI∼ΔABC vì:

\(\widehat{EIA}=\widehat{ACB}\) \(=90^0\)

\(\widehat{CAB}:chung\)

\(\Rightarrow\frac{AE}{AB}=\frac{AI}{AC}\Leftrightarrow AE.AC=AI.AB\) (1)

Xét (O) có: \(\widehat{AMB}\) \(=90^0\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Ta có: \(\widehat{EIA}+\widehat{EIB}\) \(=180^0\) (hai góc kề bù)

\(\Leftrightarrow\) \(\widehat{EIB}\) \(=180^0-\) \(\widehat{EIA}\) \(=180^0-90^0=90^0\)

Xét ΔEBM∼ΔABM vì:

\(\widehat{AHM}=\widehat{AMB}\) \(=90^0\)

\(\widehat{MAB}:chung\)

\(\Rightarrow\frac{EB}{AB}=\frac{BI}{BM}\Leftrightarrow EB.BM=BI.AB\) (2)

Cộng (1) và (2) Ta có:

\(AE.AK+BE.BM=AI.AB+IB.AB\)

\(\Leftrightarrow AE.AK+BE.BM=AB.\left(AI+IB\right)=AB.AB\)

\(\Leftrightarrow AE.AK+BE.BM=AB^2\) (mà \(AB=2R\))

\(\Leftrightarrow AE.AK+BE.BM=\left(2R\right)^2\)

\(\left(2R\right)^2\) không thay đổi khi M chuyển động

\(\Rightarrow AE.AK+BE.BM\) không phụ thuộc vào vị trí M (đpcm).

Bình luận (0)
 Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
Nguyen Dang Khoa
Xem chi tiết
nguyen thi hoa trinh
Xem chi tiết
Trung Luyện Viết
Xem chi tiết
Trung Luyện Viết
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Hiền Nguyễn
Xem chi tiết
Tấn Đạt
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Music Hana
Xem chi tiết