Question

Choa, b, c ≥ 0: a+b+c=9. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = \(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\)

Answer 1

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x=\sqrt{a+b}\\y=\sqrt{b+c}\\z=\sqrt{a+c}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow0\le x;y;z\le3\)

Bài toán trở thành: cho \(x^2+y^2+z^2=18\), tìm GTNN \(P=x+y+z\)

\(x\left(3-x\right)\ge0\Rightarrow3x\ge x^2\)

Tương tự ta được \(3y\ge y^2\); \(3z\ge z^2\)

Cộng vế với vế:

\(3\left(x+y+z\right)\ge x^2+y^2+z^2=18\Rightarrow x+y+z\ge6\)

\(\Rightarrow P_{min}=6\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(3;3;0\right)\) và các hoán vị hay \(\left(a;b;c\right)=\left(9;0;0\right)\) và các hoán vị