Ôn tập: Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Mai Linh

a, Cho x,y là các số thực dương bất kỳ. Chứng minh \(\frac{1}{x+y}\)\(\frac{1}{4}\) ( \(\frac{1}{x}\) + \(\frac{1}{y}\) )

b, Cho a,b và c là các số thực không âm thỏa mãn a + b + c = 1

Chứng minh rằng \(\frac{ab}{c+1}\) + \(\frac{bc}{a+1}\) + \(\frac{ca}{b+1}\)\(\frac{1}{4}\)

Lê Anh Duy
19 tháng 4 2019 lúc 12:44

a) \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{x+y}=\frac{4}{x+y}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)

b)

Ta có

\(\frac{ab}{c+1}=\frac{ab}{a+b}=\frac{ab}{\left(a+c\right)+\left(b+c\right)}\le\frac{ab}{4}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)\)

\(\frac{bc}{a+1}=\frac{bc}{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)}\le\frac{bc}{4}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)\)

\(\frac{ac}{b+1}=\frac{ac}{\left(a+b\right)+\left(b+c\right)}\le\frac{ac}{4}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{ab}{c+1}+\frac{bc}{a+1}+\frac{ac}{b+1}\le\frac{ab}{4\left(a+c\right)}+\frac{ab}{4\left(b+c\right)}+\frac{bc}{4\left(a+b\right)}+\frac{bc}{4\left(a+c\right)}+\frac{ac}{4\left(A+b\right)}+\frac{ac}{4\left(b+c\right)}\)

\(=\frac{ab+bc}{4\left(a+c\right)}+\frac{ab+ac}{4\left(b+c\right)}+\frac{bc+ac}{4\left(a+b\right)}=\frac{1}{4}\left(\frac{b\left(a+c\right)}{a+c}\right)+\frac{1}{4}\left(\frac{a\left(b+c\right)}{b+c}\right)+\frac{c\left(a+b\right)}{a+b}\)

\(=\frac{a+b+c}{4}=\frac{1}{4}\)

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Tuna Ngô
Xem chi tiết
Tuan Minh Do Xuan
Xem chi tiết
Mai Linh
Xem chi tiết
Tạ Nguyễn Huyền Giang
Xem chi tiết
no no
Xem chi tiết
Nguyễn Thành Minh
Xem chi tiết
hoàng thiên
Xem chi tiết
tinmi123
Xem chi tiết
Dương Hàn Thiên
Xem chi tiết