Question

Cho phương trình

(m² +m +1) x² -(m² +2m+2) x-1=0

a) chứng tỏ rằng phương trình có hai nghiệm trái dấu.

b) gọi x_1, x₂ là hai nghiệm của phương trình trên. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của tổng: s= x₁ +x₂

Answer 1

\(\left(m^2+m+1\right)x^2-\left(m^2+2m+2\right)x-1=0\)

a. Ta có: \(a=m^2+m+1=\left(m+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\) trái dấu với \(c=-1\)

\(\Rightarrow\frac{c}{a}< 0\)

\(\Rightarrow\) Pt có 2 nghiệm trái dấu

b. Hệ thức vi-et: \(x_1+x_2=\frac{m^2+2m+2}{m^2+m+1}\)

Đặt: \(A=\frac{m^2+2m+2}{m^2+m+1}\)

Pt luôn có nghiệm với mọi m

\(\Rightarrow A\left(m^2+m+1\right)=m^2+2m+2\)

\(\Leftrightarrow Am^2+Am+A-m^2-2m-2=0\)

\(\Leftrightarrow m^2\left(A-1\right)+m\left(A-2\right)+A-2=0\)

\(\Delta=b^2-4ac=\left(A-2\right)^2-4\left(A-1\right)\left(A-2\right)=-3A^2+8A-4\)

\(\Rightarrow\frac{2}{3}\le A\le2\)

\(\Rightarrow Min_{x_1+x_2}=\frac{2}{3}\Leftrightarrow m=-2\)

\(Max_{x_1+x_2}=2\Leftrightarrow m=0\)