Chương 3: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ VUÔNG GÓC

Lê Công Đắt

Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông tâm O và cạnh bằng a, SA=a và SA vuông góc với đáy. Gọi (β) là mặt phẳng qua A, trung điểm E của cạnh CD và vuông góc với mặt phẳng (SBC). Tính diện tích của thiết diện giữa (β) và hình chóp S.ABCD.

Nguyễn Việt Lâm
16 tháng 4 2019 lúc 15:51

S A B C D E P Q F

Kẻ \(AP\perp SB\Rightarrow AP\perp\left(SBC\right)\Rightarrow P\in\left(\beta\right)\)

Kéo dài AE cắt BC tại F, nối \(PF\) cắt SC tại Q \(\Rightarrow APQE\) là thiết diện của \(\left(\beta\right)\) và chóp

\(\left\{{}\begin{matrix}CE//AB\\CE=\frac{1}{2}AB\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow CE\) là đtb \(\Delta ABF\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}BF=2BC=2a\\AF=2AE=a\sqrt{5}\end{matrix}\right.\)

Do \(\Delta SAB\) vuông cân \(\Rightarrow P\) là trung điểm SB và \(AP=\frac{SB}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}\)

\(\Rightarrow PF=\sqrt{AF^2-AP^2}=\frac{3a\sqrt{2}}{2}\)

P là trung điểm SB, C là trung điểm BF \(\Rightarrow Q\) là trọng tâm \(\Delta SBF\Rightarrow QF=\frac{2}{3}PF\)

Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ E xuống PF \(EH//AP\Rightarrow EH=\frac{1}{2}AP\) (tính chất đường trung bình)

\(\Rightarrow\frac{S_{QEF}}{S_{APF}}=\frac{EH.QF}{AP.PF}=\frac{\frac{1}{2}AP.\frac{2}{3}PF}{AP.PF}=\frac{1}{3}\)

\(\Rightarrow S_{APQE}=\frac{2}{3}S_{APF}=\frac{2}{3}.\frac{1}{2}.AP.PF=\frac{1}{2}a^2\)

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Kiệt Vũ
Xem chi tiết
Ngọc Nhã Uyên Hạ
Xem chi tiết
Lê Ánh ethuachenyu
Xem chi tiết
Vũ Nam
Xem chi tiết
Nam Dao
Xem chi tiết
Hiep hoang do
Xem chi tiết
Julian Edward
Xem chi tiết
Phương Lee
Xem chi tiết
Lê Ánh ethuachenyu
Xem chi tiết
SusAnna Sarah
Xem chi tiết