Question

Cho các số thực a, b, c thỏa mãn: a, b, c ≥ 1 và ab+bc+ca=9. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức a²+b²+c²

Answer 1

Ta có:\(a^2+b^2+c^2=\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)=\left(a+b+c\right)^2-18\)

Ta chuyển bài toán về tìm max a+b+c

Ta có:\(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\Rightarrow ab+1\ge a+b\)

CMTT\(\Rightarrow bc+1\ge b+c;ca+1\ge c+a\)

Cộng vế theo vế ta có:\(ab+bc+ca+3\ge2\left(a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow a+b+c\le6\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\le36-18=18\)

"="<=>a=b=1;c=4 và các hoán vị