Violympic toán 9

Vo Thi Minh Dao

cho abc=1 tim GTLN M=\(\frac{1}{a^2+2b^2+3}+\frac{1}{b^2+2c^2+3}+\frac{1}{c^2+2a^2+3}\)

Trần Trung Nguyên
9 tháng 4 2019 lúc 16:35

Áp dụng bđt cosi ta có:

\(M=\frac{1}{a^2+2b^2+3}+\frac{1}{b^2+2c^2+3}+\frac{1}{c^2+2a^2+3}=\frac{1}{a^2+b^2+b^2+1+2}+\frac{1}{b^2+c^2+c^2+1+2}+\frac{1}{c^2+a^2+a^2+1+2}\le\frac{1}{2\sqrt{ab}+2\sqrt{b}+2}+\frac{1}{2\sqrt{bc}+2\sqrt{c}+2}+\frac{1}{2\sqrt{ac}+2\sqrt{a}+2}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{ab}+\sqrt{b}+1}+\frac{1}{\sqrt{bc}+\sqrt{c}+1}+\frac{1}{\sqrt{ac}+\sqrt{a}+1}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{ab}+\sqrt{b}+1}+\frac{\sqrt{abc}}{\sqrt{bc}+\sqrt{c}+\sqrt{abc}}+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{abc}+\sqrt{ab}+\sqrt{b}}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{ab}+\sqrt{b}+1}+\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{b}+1+\sqrt{ab}}+\frac{\sqrt{b}}{1+\sqrt{ab}+\sqrt{b}}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{1+\sqrt{ab}+\sqrt{b}}{\sqrt{ab}+\sqrt{b}+1}\right)=\frac{1}{2}\Rightarrow M\le\frac{1}{2}\)

Vậy GTLN của M là \(\frac{1}{2}\)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
9 tháng 4 2019 lúc 16:14

\(M=\sum\frac{1}{a^2+b^2+b^2+1+2}\le\frac{1}{2}\sum\frac{1}{ab+b+1}\)

Maặt khác, ta có bài toán quen thuộc, cho \(abc=1\Rightarrow\sum\frac{1}{ab+b+1}=1\)

\(\Rightarrow M\le\frac{1}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=1\)

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Lê Đình Quân
Xem chi tiết
người bị ghét :((
Xem chi tiết
𝓓𝓾𝔂 𝓐𝓷𝓱
Xem chi tiết
Hoàng Quốc Tuấn
Xem chi tiết
Văn Thắng Hồ
Xem chi tiết
Huy Phan Đình
Xem chi tiết
trung le quang
Xem chi tiết
Phác Chí Mẫn
Xem chi tiết
Nguyễn thị lan
Xem chi tiết