Lời giải:
a)
Xét $(O')$, ta có \(\widehat{MPD}=90^0\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
\(\Rightarrow MP\perp ED(*)\)
Xét $(O)$ có $OI$ vuông góc với dây cung $EF$ nên $I$ là trung điểm của $EF$.
Tứ giác $MECF$ có 2 đường chéo $EF$ và $CM$ cắt nhau tại trung điểm $I$ của mỗi đường nên $MECF$ là hình bình hành
\(\Rightarrow MF\parallel EC(1)\)
Mà \(\widehat{CED}=90^0\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn $(O)$)
\(\Rightarrow CE\perp ED(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow MF\perp ED(**)\)
Từ \((*); (**)\Rightarrow MP\parallel MF\Rightarrow M,P,F\) thẳng hàng (đpcm)
b)
\(M,P,F \) thẳng hàng nên \(FP\perp ED\Rightarrow \triangle EPF\) vuông tại $P$.
Sử dụng tính chất: Đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông thì bằng một nửa cạnh huyền cho các tam giác vuông $EPF$ và $MPD$ ta có:
\(PI=\frac{EF}{2}=IF\Rightarrow \triangle IFP\) cân tại $I$
\(\Rightarrow \widehat{IPF}=\widehat{IFP}(3)\)
\(PO'=\frac{MD}{2}=O'M\Rightarrow \triangle O'PM\) cân tại $O'$
\(\Rightarrow \widehat{O'PM}=\widehat{O'MP}=\widehat{IMF}(4)\)
Từ \((3);(4)\Rightarrow \widehat{IPF}+\widehat{O'PM}=\widehat{IFP}+\widehat{IMF}=\widehat{IFM}+\widehat{IMF}\)
\(\Leftrightarrow \widehat{IPO'}=180^0-\widehat{FIM}=90^0\)
\(\Rightarrow IP\perp O'P\)
Do đó $IP$ là tiếp tuyến của $(O')$ (đpcm)