Question

cho a,b,c là ba cạnh của tam giác có chu vi bằng 2p. chứng minh:\(\sqrt{3p}\ge\sqrt{p-a}+\sqrt{p-b}+\sqrt{p-c}>\sqrt{p}\)

Answer 1

Ta có \(p-a>0;p-b>0;p-c>0\), áp dụng BĐT Bunhia:

\(\sqrt{p-a}+\sqrt{p-b}+\sqrt{p-c}\le\sqrt{\left(1+1+1\right)\left(3p-\left(a+b+c\right)\right)}\)

\(\Rightarrow\sqrt{p-a}+\sqrt{p-b}+\sqrt{p-c}\le\sqrt{3\left(3p-2p\right)}=\sqrt{3p}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

Lại áp dụng BĐT \(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}>\sqrt{x+y+z}\) với x,y,z dương:

\(\sqrt{p-a}+\sqrt{p-b}+\sqrt{p-c}>\sqrt{3p-\left(a+b+c\right)}=\sqrt{3p-2p}=\sqrt{p}\)