Question

Chứng minh:

a)a²+b²+c²+d²+16\(\ge\)4a+4b+4c+4d

b)a²+b²\(\ge\)a+b-\(\frac{1}{2}\)

Answer 1

Dùng biến đổi tương đương:

a/ \(a^2+b^2+c^2+d^2+16\ge4a+4b+4c+4d\)

\(\Leftrightarrow a^2-4a+4+b^2-4b+4+c^2-4c+4+d^2-4d+4\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-2\right)^2+\left(b-2\right)^2+\left(c-2\right)^2+\left(d-2\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Vậy BĐT được chứng minh

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=d=2\)

b/ \(a^2+b^2\ge a+b-\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow a^2-a+\frac{1}{4}+b^2-b+\frac{1}{4}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\left(b-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Dấu "=" khi \(a=b=\frac{1}{2}\)