Chương 4: GIỚI HẠN

Lê Công Đắt

Tìm m thuộc khoảng \(\left(-10;10\right)\) để phương trình
\(x^3-3x^2+\left(2m-2\right)x+m-3=0\)
có 3 nghiệm phân biệt \(x_1,x_2,x_3\) thỏa \(x_1< -1< x_2< x_3\)

Chí Cường
10 tháng 12 2019 lúc 18:23

\(f\left(x\right)=x^3-3x^2+\left(2m-2\right)x+m-3\\ f'\left(x\right)=3x^2-6x+2m-2\\ \Delta'_{f'}=-6m+15\)

Phương trình có 3 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta'_{f'}=-6m+15>0\\y_{CĐ}y_{CT}< 0\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< \frac{5}{2}\\\left[\left(\frac{4}{3}m-\frac{10}{3}\right)x_{CĐ}+\frac{5}{3}m-\frac{11}{3}\right]\left[\left(\frac{4}{3}m-\frac{10}{3}\right)x_{CT}+\frac{5}{3}m-\frac{11}{3}\right]\end{matrix}\right.\\ \left\{{}\begin{matrix}m< \frac{5}{2}\\32m^3+3m^2-534m+823< 0\end{matrix}\right.\left(k\right)}\)

Theo định lí Viet ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2+x_3=3>0\\x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=2m-2\\x_1x_2x_3=3-m>0\end{matrix}\right.\)

Từ \(x_1< -1< x_2< x_3\Rightarrow\left(x_1+1\right)\left(x_2+1\right)\left(x_2+1\right)< 0\)

Và từ \(\left(x_1+1\right)\left(x_2+1\right)\left(x_3+1\right)< 0\), do Viet ở trên nên \(x_1< -1< x_2< x_3\)

Vậy phương trình có 3 nghiệm thỏa mãn yêu cầu đề bài \(\Leftrightarrow\left(x_1+1\right)\left(x_2+1\right)\left(x_3+1\right)< 0\\ \Leftrightarrow x_1x_2x_3+x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1+x_1+x_2+x_3+1< 0\\ \Leftrightarrow3-m+2m-2+3+1< 0\Leftrightarrow m< -5\)

Với m<-5 thì thỏa mãn điều kiện (k) ở trên. Vậy -10<m<-5

Bình luận (0)
 Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
An Trần
Xem chi tiết
Dương Nguyễn
Xem chi tiết
Light Stars
Xem chi tiết
Mai Anh
Xem chi tiết
Lê Hồng Anh
Xem chi tiết
A Lan
Xem chi tiết
Quỳnh Anh
Xem chi tiết
Lê Hồng Anh
Xem chi tiết
Phạm Lợi
Xem chi tiết