Question

Cho p là số nguyên tố

Chứng minh p² -1 chia hết cho 24 biết p lớn hơn hoặc bằng 5

Answer 1

A = p² - 1 = (p - 1)(p + 1). Do p là số nguyên tố lớn hơn bằng 5 nên p là số nguyên tố lớn hơn 3

p là số nguyên tố > 3 => p ko chia hết cho 3 và p lẻ nên p² ko chia hết cho 3 mà 1 số nguyên tố chỉ có thể chia hết cho3 hoặc chia 3 dư 1 suy ra p² chia 3 dư 1 suy ra p² - 1 chia hết cho 3 với mọi p là số nguyên tố > 3 (1)

p là số nguyên tố > 3 => p = 3k+1; 3k + 2

+) p= 3k+1 => k chẵn vì nếu k lẻ thì p chẵn( vô lí). Đặt k=2a

A=(3k)(3k+2)=(6a)(6a+2)=4(3a)(3a+1). Do (3a) và (3a+1) là 2 số tự nhiên liên tiếp nên tích của chúng chẵn suy ra A chia hết cho 8

+) p = 3k+2 => k lẻ vì nếu k chẵn thì p chẵn (vô lí). Đặt k=2b+1

A=(3k+1)(3k+3)=(6k+4)(6k+6)=4(3k+2)(3k+3) Do (3a+2) và (3a+3) là 2 số tự nhiên liên tiếp nên tích của chúng chẵn suy ra A chia hết cho 8

=> A chia hết cho 8 với mọi p là số nguyên tố > 3 (2)

8 và 3 là 2 số nguyên tố cùng nhau và 8 x 3=24 (3)

Từ (1); (2); (3) => A chia hết cho 24 với mọi p là số nguyên tố lớn hơn bằng 5 (đpcm)

Answer 2

Bạn tham khảo cách giải này nhé!:

https://hoc24.vn/hoi-dap/question/114401.html?pos=465344