cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB .Trên nửa mặt phẳng chứa nửa đường tròn có bờ là đg thẳng AB ,kẻ tiếp tuyến Ax vuông góc vs AB từ điểm M trên tia Ax kẻ tiếp tuyến MC vs nửa đg tròn đoạn AC cắt OM tại E, MB cắt nửa đg tròn tại D
a, cm các tứ giác AMCO,AMDE nội tiếp
b, cm \(\Delta MDO\approx\Delta MEB\)
c, gọi H là hình chiếu vuông góc vs C lên AB , I là giao điểm của MB và CH.CM đg thẳng EI\(\perp AM\)
HELP ME TỐI PHẢI NỘP RÙI
a) Ta có: \(\widehat{OAM}=\widehat{OCM}=90^o\) ( MA và MC là các tiếp tuyến của (O))
\(\Rightarrow\widehat{OAM}+\widehat{OCM}=180^o\)
Mà \(\widehat{OAM}\) và \(\widehat{OCM}\) đối nhau
Nên tứ giác AMCO nội tiếp
Ta lại có: OA = OC = R \(\Rightarrow\Delta AOC\) cân tại O (1)
Mà OM là phân giác của \(\widehat{AOC}\) ( MA và MC là tiếp tuyến) (2)
Từ (1), (2) \(\Rightarrow OM\) cũng là đường cao của \(\Delta AOC\)
\(\Rightarrow OM\perp AC\)
\(\Rightarrow\widehat{AEM}=90^o\) (3)
Mặt khác \(\widehat{ADB}=90^o\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))
\(\Rightarrow\widehat{MDA}=90^o\) (4)
Mà D và E cùng nhìn cạnh MA (5)
Từ (3), (4), (5) \(\Rightarrow\) Tứ giác AMDE nội tiếp (6)
b) Từ (6) \(\Rightarrow\widehat{EDB}=\widehat{EAM}\) (góc ngoài) (7)
Mà \(\widehat{EAM}=\widehat{EOA}\) (cùng phụ với \(\widehat{EAO}\)) (8)
Từ (7), (8) \(\Rightarrow\) \(\widehat{EDB}=\widehat{EOA}\)
Nên tứ giác OEDB nội tiếp
\(\Rightarrow\widehat{EOD}=\widehat{DBE}\)
Hay \(\widehat{MOD}=\widehat{MBE}\) (9)
Mà \(\widehat{DME}\) là góc chung của \(\Delta MDO\) và \(\Delta MEB\) (10)
Từ (9), (10) \(\Rightarrow\Delta MDO\sim\Delta MEB\) (G - G)
c) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}CH\perp AB\left(gt\right)\left(11\right)\\MA\perp AB\left(gt\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow CH\) // MA (12)
\(\Rightarrow\widehat{ECI}=\widehat{EAM}\) (13)
Từ (7), (13) \(\Rightarrow\widehat{EDB}=\widehat{ECI}\) hay \(\widehat{EDI}=\widehat{ECI}\) (14)
Mà D và C cùng nhìn cạnh EI (15)
Từ (14), (15) \(\Rightarrow\) Tứ giác EDCI nội tiếp
\(\Rightarrow\widehat{DCE}=\widehat{DIE}\) (góc nội tiếp cùng chắn \(\stackrel\frown{ED}\) của đường tròn ngoại tiếp EDCI) (16)
Mà \(\widehat{DCA}=\widehat{DBA}\) (góc nội tiếp cùng chắn \(\stackrel\frown{AD}\) của (O)) hay \(\widehat{DCE}=\widehat{DBA}\left(17\right)\)
Từu (16), (17) \(\Rightarrow\widehat{DIE}=\widehat{DBA}\)
Mà 2 góc trên ở vị trí đồng vị
\(\Rightarrow EI\) // AB (18)
Từ (11), (18) \(\Rightarrow CH\perp EI\) (19)
Từ (12), (19) \(\Rightarrow EI\perp MA\)
