Question

Giải phương trình: \(\left(x+2\right)\left(\sqrt{x^2+4x+7}+1\right)+x\left(\sqrt{x^2+3}+1\right)=0\)

Answer 1

Ta có:\(\left(x+2\right)\left(\sqrt{x^2+4x+7}+1\right)+x\left(\sqrt{x^2+3}+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left(x+2\right)\left(\sqrt{\left(x+2\right)^2+3}+1\right)=-x\left(\sqrt{x^2+3}+1\right)\)

Đặt x+2=a ; -x=b. Xét hàm số \(f\left(t\right)=t\left(\sqrt{t^2+3}+1\right)\), phương trình trở thành: \(f\left(a\right)=f\left(b\right)\)

Vì \(f'\left(t\right)\)=\(1+\sqrt{t^2+3}\)+\(\frac{t^2}{\sqrt{t^2+3}}\)>0 ∀\(t\) .Hàm số \(f\left(t\right)\) luôn đồng biến nên \(f\left(a\right)=f\left(b\right)\)\(\Leftrightarrow\) \(a=b\)

Phương trình \(\Leftrightarrow\) x + 2 = -x \(\Leftrightarrow\) x = -1

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=-1