Question

Làm ơn giải nhanh giúp mình, mai mình phài nộp bài rồi

Chứng minh

a. sin².tan +cos².cot + 2sin.cos= tan + cot

b. \(\frac{1+sin^2}{^{ }1-sin^2}=1+2tan^2\)

c. \(\frac{cos}{1=sin}+tan=\frac{1}{cos}\)

d. \(\frac{sin}{1+cos}+\frac{1+cos}{sin}=\frac{2}{sin}\)

Answer 1

Giả sử các biểu thức đều xác định:

a/ \(sin^2x.tanx+cos^2x.cotx+2sinx.cosx\)

\(=sin^2x.\frac{sinx}{cosx}+sinx.cosx+cos^2x.\frac{cosx}{sinx}+sinx.cosx\)

\(=sinx\left(\frac{sin^2x}{cosx}+cosx\right)+cosx\left(\frac{cos^2x}{sinx}+sinx\right)\)

\(=sinx\left(\frac{sin^2x+cos^2x}{cosx}\right)+cosx\left(\frac{cos^2x+sin^2x}{sinx}\right)=\frac{sinx}{cosx}+\frac{cosx}{sinx}=tanx+cotx\)

b/

\(\frac{1+sin^2x}{1-sin^2x}=\frac{1+sin^2x}{cos^2x}=\frac{1}{cos^2x}+tan^2x=1+tan^2x+tan^2x=1+2tan^2x\)

c/ \(\frac{cosx}{1+sinx}+tanx=\frac{cosx\left(1-sinx\right)}{1-sin^2x}+\frac{sinx.cosx}{cos^2x}=\frac{cosx-cosx.sinx}{cos^2x}+\frac{sinx.cosx}{cos^2x}\)

\(=\frac{cosx}{cos^2x}=\frac{1}{cosx}\)

d/ \(\frac{sinx}{1+cosx}+\frac{1+cosx}{sinx}=\frac{sinx\left(1-cosx\right)}{\left(1-cosx\right)\left(1+cosx\right)}+\frac{sinx\left(1+cosx\right)}{sin^2x}\)

\(=\frac{sinx-sinx.cosx}{1-cos^2x}+\frac{sinx+sinx.cosx}{sin^2x}=\frac{sinx-sinx.cosx}{sin^2x}+\frac{sinx+sinx.cosx}{sin^2x}\)

\(=\frac{2sinx}{sin^2x}=\frac{2}{sinx}\)