Violympic toán 9

Rose Princess

Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn \(ab+bc+ca=3abc\) .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

\(F=\frac{1}{a+2b+3c}+\frac{1}{2a+3b+c}+\frac{1}{3a+b+2c}\)

Nguyen
4 tháng 3 2019 lúc 12:31

Áp dụng BĐT Svarxơ:

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{3}{c}\)\(=\dfrac{1}{a}+\dfrac{4}{2b}+\dfrac{9}{3c}\ge\dfrac{\left(1+2+3\right)^2}{a+2b+3c}\)\(=\dfrac{36}{a+2b+3c}\)

CMTT: \(\dfrac{2}{a}+\dfrac{3}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{36}{2a+3b+c}\)

\(\dfrac{3}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{2}{c}\ge\dfrac{36}{3a+b+2c}\)

Cộng vế theo vế, ta có: \(6\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge36\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)=36F\)

Có: \(ab+bc+ca=3abc\)

Vì a,b,c>0 nên chia cả 2 vế cho abc:

\(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=3\)

\(\Rightarrow36F\le18\Leftrightarrow F\le\dfrac{1}{2}\)

Vậy Fmin\(=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow a=b=c=1\)

Bình luận (0)
Khôi Bùi
4 tháng 3 2019 lúc 12:21

Có trong câu hỏi tt nha

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Big City Boy
Xem chi tiết
Agami Raito
Xem chi tiết
Phác Chí Mẫn
Xem chi tiết
Annie Scarlet
Xem chi tiết
Vũ Cao cườngf ff
Xem chi tiết
Tuyển Nguyễn Đình
Xem chi tiết
Văn Thắng Hồ
Xem chi tiết
Nguyễn Bùi Đại Hiệp
Xem chi tiết
bach nhac lam
Xem chi tiết