Violympic toán 9

Trương Nguyên Đại Thắng

Cho đa thức \(P\left(x\right)=x^4+ax^2+1\)\(Q\left(x\right)=x^3+ax+1\) . Xác định a để đa thức P(x) và Q(x) có nghiệm chung

Unruly Kid
2 tháng 3 2019 lúc 18:06

Ta có:\(\begin{Bmatrix} x^{4}+ax^{2}+1=0 & \\x^{3}+ax+1=0 & \end{Bmatrix}\)

Giả sử phương trình có nghiệm chung là \(x_o\)

\(\begin{Bmatrix} x_0^{4}+ax_0^{2}+1=0(1) & \\x_0^{3}+ax_0 +1=0(2) & \end{Bmatrix}\)

Suy ra

\(x_0^{4}-x_0^{3}+ax_0^{2}-ax_0=0\Leftrightarrow x_0(x_0-1)(x_0^{2}+a)=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x_0=0 & & \\x_0=1 & & \\x_0^2+a=0 & & \end{bmatrix}\)Thử lại thấy a=-2 phương trình sẽ có 1 nghiệm chung x=1

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
2 tháng 3 2019 lúc 18:17

Giả sử nghiệm chung của hai đa thức là \(x_0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0^4+ax_0^2+1=0\\x_0^3+ax_0+1=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x_0^4+ax_0^2+1=x_0^3+ax_0+1\)

\(\Rightarrow x_0^4-x_0^3+ax^2_0-ax_0=0\Leftrightarrow x_0^3\left(x_0-1\right)+ax_0\left(x_0-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x_0\left(x_0-1\right)\left(x_0^2+a\right)=0\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x_0=0\\x_0=1\\x^2_0=-a\end{matrix}\right.\)

- Thay \(x_0=0\) vào ta được \(P\left(0\right)=1\Rightarrow\) ko phải nghiệm (loại)

- Thay \(x_0=1\) vào \(\left\{{}\begin{matrix}P\left(1\right)=a+2=0\Rightarrow a=-2\\Q\left(1\right)=a+2=0\Rightarrow a=-2\end{matrix}\right.\) (nhận)

- Với \(x_0^2=-a\Rightarrow a=-x^2_0\) thay vào ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}P\left(x_0\right)=x_0^4+\left(-x_0^2\right)x_0^2+1=1\ne0\\Q\left(x_0\right)=x_0^3+\left(-x_0^2\right)x_0+1=1\ne0\end{matrix}\right.\) (loại)

Vậy với \(a=-2\) thì 2 đa thức có nghiệm chung \(x=1\)

Bình luận (1)
EDOGAWA CONAN
2 tháng 3 2019 lúc 19:41

x=1

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Trương Nguyên Đại Thắng
Xem chi tiết
Trương Nguyên Đại Thắng
Xem chi tiết
Trương Nguyên Đại Thắng
Xem chi tiết
Trương Nguyên Đại Thắng
Xem chi tiết
Lâm Minh Trí
Xem chi tiết
Nấm Chanel
Xem chi tiết
ghdoes
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết