Violympic toán 8

Nguyễn Phương Anh

a,cho \(\left(x+y+t\right)^{^3}-x^3-y^3-t^3=2011\) .tính giá trị của D=\(\dfrac{2011}{\left(x+y\right)\left(y+t\right)\left(t+x\right)}\)

b,cho ba số dương a,b,c thoả mãn \(a+b+c=18099\).tìm GTNN của H=\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)

Nguyễn Thanh Hằng
1 tháng 3 2019 lúc 21:33

a/ Ta có :

\(\left(x+y+t\right)-x^3-y^3-z^3=2011\)

\(\Leftrightarrow3\left(x+y\right)\left(y+t\right)\left(t+x\right)=2011\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(y+t\right)\left(t+x\right)=\dfrac{2011}{3}\)

Thay vào D ta được :

\(D=\dfrac{2011}{\dfrac{2011}{3}}=3\)

Vậy.....

b/ Ta có :

\(H=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)

\(\Leftrightarrow10899H=10899\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)

\(\Leftrightarrow10899H=\dfrac{a+b+c}{a}+\dfrac{a+b+c}{b}+\dfrac{a+b+c}{c}\)

\(\Leftrightarrow10899H=1+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}+1+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}+1\)

\(\Leftrightarrow10899H=3+\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)+\left(\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}\right)+\left(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}\right)\)

Áp dụng BĐT Cô - si cho các số dương ta có ;

\(+,\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{a}}=2\)

+, \(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}\ge2\sqrt{\dfrac{b}{c}.\dfrac{c}{b}}=2\)

+, \(\dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{c}\ge2\sqrt{\dfrac{b}{c}.\dfrac{c}{b}}=2\)

Cộng vế với vế của các BĐT ta có :

\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}\ge6\)

\(\Leftrightarrow10899H\ge9\)

\(\Leftrightarrow H\ge\dfrac{1}{2011}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=6033\)

Vậy..

Bình luận (0)
Khôi Bùi
1 tháng 3 2019 lúc 22:20

b ) Do a ; b ; c dương \(\Rightarrow\dfrac{1}{a};\dfrac{1}{b};\dfrac{1}{c}\) dương

Áp dụng BĐT Cô - si cho 3 số dương , ta có :

\(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}=9\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{9}{a+b+c}\)

Theo GT : \(a+b+c=18099\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{9}{18099}=\dfrac{1}{2011}\)

\(\Rightarrow H\ge\dfrac{1}{2011}\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=18099\\a=b=c\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow a=b=c=6033\)

Vậy ...

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Trung Nguyen
Xem chi tiết
Nghịch Dư Thủy
Xem chi tiết
Phạm Ngọc Trâm Anh
Xem chi tiết
Dưa Trong Cúc
Xem chi tiết
Oppa Jimin
Xem chi tiết
Oppa Jimin
Xem chi tiết
Thảo Công Túa
Xem chi tiết
What is love?
Xem chi tiết
Phạm Ngọc Trâm Anh
Xem chi tiết