Cho tam giác đều ABC có cạnh \(a=1,2345m\) . Lấy M thuộc cạnh BC sao cho \(AM=\dfrac{a\sqrt{14}}{4}\) . Gọi N và P là các điểm lần lượt thuộc cạnh AC , AB . Tìm GTNN của chu vi tam giác MNP . @Nguyen @Nguyễn Trương
Hình vẽ chỉ mang tính chất minh họa, đừng nhìn lâu kẻo hỏng mắt
Bài này dựng hình thì dễ, nó khá cơ bản , nhưng đoạn tính toán thì quên kiến thức lớp 9 nên chẳng biết phải tính thế nào cho phù hợp.
Gọi D, E lần lượt là 2 điểm đối xứng với M qua AB và AC
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}MP=DP\\MN=NE\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow MN+NP+PN=DP+PN+NE\ge DE\) (đường thẳng nối giữa 2 điểm thì luôn không dài hơn đường zíc zắc)
Mà \(DE\) cố định \(\Rightarrow\) chu vi \(MPN_{min}=DE\) khi P trùng K, N trùng I
Việc bây giờ là tìm độ dài đoạn DE, nhìn hình nản quá
Gọi giao của MD và AB là R, giao ME và AC là S, ko kí hiệu vào hình nữa sợ thành mới bòng bong luôn, do D và M đối xứng, M và E đối xứng \(\Rightarrow\) R là trung điểm MD, S là trung điểm ME \(\Rightarrow RS\) là đường trung bình \(\Delta MDE\Rightarrow RS=\frac{1}{2}DE\)
Ta có \(MH=\sqrt{AM^2-AH^2}=\sqrt{\frac{7a^2}{8}-\frac{3a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{2}}{4}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}MC=\frac{a\left(2+\sqrt{2}\right)}{4}\\MB=\frac{a\left(2-\sqrt{2}\right)}{4}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}MR=MB.sin\widehat{B}=\frac{a\left(2-\sqrt{2}\right)}{4}.sin60^0=\frac{a\left(-\sqrt{6}+2\sqrt{3}\right)}{8}\\MS=MC.sin\widehat{C}=\frac{a\left(\sqrt{6}+2\sqrt{3}\right)}{8}\end{matrix}\right.\)
Tứ giác ARMS nội tiếp (R và S cùng nhìn AM dưới 1 vuông)
\(\Rightarrow\widehat{A}+\widehat{SMR}=180^0\Rightarrow\widehat{M}=120^0\)
Áp dụng định lý hàm cos (kiến thức lớp 10, căn bản đến đây ko biết xử lý kiểu lớp 9) cho tam giác MRS:
\(RS=\sqrt{MS^2+MR^2-2MS.MR.cos\widehat{M}}=\frac{a\sqrt{42}}{8}\) (bỏ a ra và ném số vào casio bấm thôi)
\(\Rightarrow DE=\frac{a\sqrt{42}}{4}\)