Violympic toán 9

DƯƠNG PHAN KHÁNH DƯƠNG

Cho tam giác đều ABC có cạnh \(a=1,2345m\) . Lấy M thuộc cạnh BC sao cho \(AM=\dfrac{a\sqrt{14}}{4}\) . Gọi N và P là các điểm lần lượt thuộc cạnh AC , AB . Tìm GTNN của chu vi tam giác MNP . @Nguyen @Nguyễn Trương

Nguyễn Việt Lâm
5 tháng 3 2019 lúc 5:01

A C B M H N P D E I K

Hình vẽ chỉ mang tính chất minh họa, đừng nhìn lâu kẻo hỏng mắt

Bài này dựng hình thì dễ, nó khá cơ bản , nhưng đoạn tính toán thì quên kiến thức lớp 9 nên chẳng biết phải tính thế nào cho phù hợp.

Gọi D, E lần lượt là 2 điểm đối xứng với M qua AB và AC

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}MP=DP\\MN=NE\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow MN+NP+PN=DP+PN+NE\ge DE\) (đường thẳng nối giữa 2 điểm thì luôn không dài hơn đường zíc zắc)

\(DE\) cố định \(\Rightarrow\) chu vi \(MPN_{min}=DE\) khi P trùng K, N trùng I

Việc bây giờ là tìm độ dài đoạn DE, nhìn hình nản quá

Gọi giao của MD và AB là R, giao ME và AC là S, ko kí hiệu vào hình nữa sợ thành mới bòng bong luôn, do D và M đối xứng, M và E đối xứng \(\Rightarrow\) R là trung điểm MD, S là trung điểm ME \(\Rightarrow RS\) là đường trung bình \(\Delta MDE\Rightarrow RS=\frac{1}{2}DE\)

Ta có \(MH=\sqrt{AM^2-AH^2}=\sqrt{\frac{7a^2}{8}-\frac{3a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{2}}{4}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}MC=\frac{a\left(2+\sqrt{2}\right)}{4}\\MB=\frac{a\left(2-\sqrt{2}\right)}{4}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}MR=MB.sin\widehat{B}=\frac{a\left(2-\sqrt{2}\right)}{4}.sin60^0=\frac{a\left(-\sqrt{6}+2\sqrt{3}\right)}{8}\\MS=MC.sin\widehat{C}=\frac{a\left(\sqrt{6}+2\sqrt{3}\right)}{8}\end{matrix}\right.\)

Tứ giác ARMS nội tiếp (R và S cùng nhìn AM dưới 1 vuông)

\(\Rightarrow\widehat{A}+\widehat{SMR}=180^0\Rightarrow\widehat{M}=120^0\)

Áp dụng định lý hàm cos (kiến thức lớp 10, căn bản đến đây ko biết xử lý kiểu lớp 9) cho tam giác MRS:

\(RS=\sqrt{MS^2+MR^2-2MS.MR.cos\widehat{M}}=\frac{a\sqrt{42}}{8}\) (bỏ a ra và ném số vào casio bấm thôi)

\(\Rightarrow DE=\frac{a\sqrt{42}}{4}\)

Bình luận (0)
Kiêm Hùng
3 tháng 3 2019 lúc 19:49
Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Thế Hiếu
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Kamato Heiji
Xem chi tiết
Trúc Giang
Xem chi tiết
yeens
Xem chi tiết
Angela jolie
Xem chi tiết
Quoc Tran Anh Le
Xem chi tiết
Bolbbalgan4
Xem chi tiết
Triết
Xem chi tiết