Question

Tìm GTNN, GTLN của \(A=\dfrac{x+2y+1}{x^2+y^2+7}\)

Answer 1

Lời giải:

\(A=\frac{x+2y+1}{x^2+y^2+1}(I)\Rightarrow A(x^2+y^2+7)=x+2y+1\)

\(\Leftrightarrow Ax^2-x+(Ay^2+7A-2y-1)=0(*)\)

Xét $A\neq 0$, khi đó ta coi $(*)$ là phương trình bậc hai ẩn $x$

Vì đẳng thức $(I)$ xảy ra nên pt $(*)$ có nghiệm

\(\Rightarrow \Delta=1-4A(Ay^2+7A-2y-1)\geq 0\)

\(\Leftrightarrow 1-4A^2y^2+8Ay\geq 28A^2-4A\)

Mà \(1-4A^2y^2+8Ay=5-(2Ay-2)^2\leq 5\)

\(\Rightarrow 28A^2-4A\leq 5\Leftrightarrow 28A^2-4A-5\leq 0\)

\(\Leftrightarrow (2A-1)(14A+5)\leq 0\)

\(\Leftrightarrow -\frac{5}{14}\leq A\leq \frac{1}{2}\). So sanh với giá trị $0$ ta thấy

\(A_{\min}=\frac{-5}{14}; A_{\max}=\frac{1}{2}\)