Cho parabol (P) có phương trình:\(y=\dfrac{x^2}{2}\) và đường thẳng (D) có phương trình :y=mx-m+2
a)Tìm m để (P) và (D) cùng đi qua điểm có hoành độ:x=4
b)CHứng minh rằng với mọi giá trị của m thì (D) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt
c)Giả sử \(\left(x_1;y_1\right)\) và \(\left(x_2;y_2\right)\) là tọa độ các giao điểm của (D) và (P).Chứng minh rằng:\(y_1+y_2\ge\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(x_1+x_2\right)\)
Hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) là nghiệm của PT: \(\dfrac{x^2}{2}=mx-m+2\)\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2}{2}-mx+m-2=0\)\(\Leftrightarrow x^2-2mx+2m-4=0\left(1\right)\)
a, Thay x = 4 vào (1) ta có: \(4^2-2m\left(4-1\right)-4=0\Leftrightarrow6m=12\Leftrightarrow m=2\)
b, Ta có: \(x^2-2mx+2m-4=0\left(1\right)\)
\(\Delta=m^2-2m+4=\left(m-1\right)^2+3>0\forall m\)\(\Rightarrow\Delta>0\forall m\Rightarrow\)PT(1) có nghiệm \(\forall m\) \(\Rightarrow\)đpcm
c, Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại 2 điểm phân biệt \(\forall m\)\(\Rightarrow PT\left(1\right)\)luôn có 2 nghiệm phân biệt \(\forall m\)
Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: \(x_1+x_2=2m\left(2\right)\)
\(y_1+y_2=\left(mx_1-m+2\right)+\left(mx_2-m+2\right)\)\(=mx_1-m+2+mx_2-m+2=m\left(x_1+x_2\right)-2m+4\left(3\right)\)
Thay (2) vào (3) ta có: \(y_1+y_2=2m^2-2m+4=\left(m\sqrt{2}\right)^2-4m\sqrt{2}+4+4m\sqrt{2}-2m\)\(=\left(m\sqrt{2}-2\right)^2+2m\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(4\right)\)
Thay (2) vào (4) ta có:
\(y_1+y_2=\left(m\sqrt{2}-2\right)^2+\left(x_1+x_2\right)\left(2\sqrt{2}-1\right)\)
\(\Rightarrow y_1+y_2\ge\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(x_1+x_2\right)\)
