Question

Giải phương trình:

\(\left(x+1\right)\left(y+2\right)\left(z+8\right)=32\sqrt{xyz}\) với x,y,z>0

Answer 1

\(\left(x+1\right)\left(y+2\right)\left(z+8\right)\ge2\sqrt{x}.2\sqrt{2y}.2\sqrt{8z}=32\sqrt{xyz}\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: \(\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=2\\z=8\end{matrix}\right.\)

Answer 2

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương ta có:

\(x+1\geq 2\sqrt{x}\)

\(y+2\geq 2\sqrt{2y}\)

\(z+8\geq 2\sqrt{8z}\)

Nhân theo vế:

\((x+1)(y+2)(z+8)\geq 2\sqrt{x}.2\sqrt{2y}.2\sqrt{8z}=32\sqrt{xyz}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} x=1\\ y=2\\ z=8\end{matrix}\right.\) (đây chính là nghiệm của pt)