\(x^2+x+a=0\left(1\right)\) và \(x^2+ax+1=0\left(2\right)\)
Có 2 trường hợp xảy ra:
- TH1: 2 phương trình đều có nghiệm:
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}1-4a\ge0\\a^2-4\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a\le\dfrac{1}{4}\\\left[{}\begin{matrix}a\le-2\\a\ge2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a\le-2\) (3)
Gọi \(x_1;x_2\) là nghiệm của pt (1), \(x_3;x_4\) là nghiệm của (2) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=x_3\\x_2=x_4\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=x_3+x_4\\x_1x_2=x_3x_4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-1=-a\\a=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a=1\) (ko t/m hệ điều kiện (3))
- TH2: cả 2 pt đều vô nghiệm thì chúng cũng tương đương
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}1-4a< 0\\a^4-4< 0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a>\dfrac{1}{4}\\-2< a< 2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\dfrac{1}{4}< a< 2\)
Vậy với \(\dfrac{1}{4}< a< 2\) thì hai pt đã cho tương đương
Để 2 pt sau tương đương nhau \(\Rightarrow x^2+x+a=x^2+ax+1\)
\(\Rightarrow x\left(a-1\right)-\left(a-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(x-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=1\\x=1\end{matrix}\right.\)
vậy a=1 thì pt \(x^2+x+a=0\) và \(x^2+ax+1=0\) tương đương nhau
