1/ BĐT tương đương:
\(a+b+c+36\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge36\)
Ta có:
\(VT\ge3\sqrt[3]{abc}+36.3\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}\ge2\sqrt{3\sqrt[3]{abc}.108\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}}=36\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=6\)
2/ Ko rõ đề là gì?
À, hiểu rồi, đề câu 2 dấu "+" kia đáng lẽ là dấu "=", bạn gõ nhầm
\(x\left(x^2+1\right)=y^2\left(y+1\right)\Rightarrow\dfrac{x\left(x^2+1\right)}{y+1}=y^2\) (1)
Dễ dàng chứng minh \(x\) và \(x^2+1\) nguyên tố cùng nhau
Mà \(y^2\) nguyên \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\dfrac{x}{y+1}\\\dfrac{x^2+1}{y+1}\end{matrix}\right.\) là số nguyên
TH1: \(\dfrac{x}{y+1}\) nguyên \(\Rightarrow\dfrac{x}{y+1}\) và \(x^2+1\) vẫn nguyên tố cùng nhau
\(\Rightarrow\dfrac{x}{y+1}\left(x^2+1\right)=y^2\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x}{y+1}=y\left(2\right)\\x^2+1=y\left(3\right)\end{matrix}\right.\)
Từ (2) \(\Rightarrow x=y\left(y+1\right)>y\Rightarrow x>y\)
Lại có \(x^2-x+1>0\forall x\Rightarrow x^2+1>x\), từ (3) \(\Rightarrow y=x^2+1>x\Rightarrow y>x\)
\(\Rightarrow\) pt vô nghiệm
TH2: \(\dfrac{x^2+1}{y+1}\) nguyên \(\Rightarrow x\) và \(\dfrac{x^2+1}{y+1}\) vẫn nguyên tố cùng nhau
Do \(x\left(\dfrac{x^2+1}{y+1}\right)=y^2\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=y\\\dfrac{x^2+1}{y+1}=y\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\dfrac{x^2+1}{x+1}=x\Rightarrow x=1\Rightarrow y=1\)
Vậy \(\left(x;y\right)=\left(1;1\right)\) là cặp nghiệm nguyên dương duy nhất của pt đã cho
Ấy tag nhầm, thấy con mèo giống nhau ghê :Vv
