Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Vẽ các đường cao BE, CF của tam giác ấy. Gọi H là giao điểm của BE và CF. Kẻ đường kính BO của (O)
a) C/m tứ giác BCEF là tứ giác nội tiếp
b) C/m tứ giác AHCK là hình bình hành
c) Đường tròn đường kính AC cắt BE ở M, đường tròn đường kính AB cắt CF ở N. C/m AM = AN
- Câu a,b mình làm được rồi ạ :33 Giúp mình câu c vớiiiii :<
c) Vì tứ giác BCEF là tứ giác nội tiếp (cmt)
=> \(\widehat{FBC}+\widehat{FEC}=180^o\) (t/c tg nt)
mà \(\widehat{FEC}+\widehat{FEA}=180^o\) (2 góc kề bù)
=> \(\widehat{FBC}=\widehat{FEA}\) hay \(\widehat{ABC}=\widehat{AEF}\)
Xét \(\Delta\)ABC và \(\Delta\)AEF có:
\(\widehat{BAC}\) chung
\(\widehat{ABC}=\widehat{AEF}\) (cmt)
=> \(\Delta\)ABC đồng dạng với \(\Delta\)AEF (g.g)
=> \(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\) (ĐN 2 tam giác đồng dạng)
=> \(AE\cdot AC=AF\cdot AB\) (1)
Vì \(\widehat{ANB}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AB (gt)
=> \(\widehat{ANB}=90^o\) (hệ quả góc nội tiếp)
=> \(\Delta\)ANB vuông tại N mà NF \(\perp\) AB (CF \(\perp\) AB)
=> \(AN^2=AF\cdot AB\) (2) (hệ thức lượng tam giác vuông)
Vì \(\widehat{AMC}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AB (gt)
=> \(\widehat{AMC}=90^o\) (hệ quả góc nội tiếp)
=> \(\Delta\)AMC vuông tại N mà ME \(\perp\) AC (BE \(\perp\) AC)
=> \(AM^2=AE\cdot AC\) (3) (hệ thức lượng tam giác vuông)
Từ (1), (2), (3) => AM = AN
c, (O;\(\dfrac{AC}{2}\)) và \(\left(O;\dfrac{AB}{2}\right)\)có \(\widehat{ANB}=\widehat{AMC}=90^o\)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
\(\Delta ANB:\widehat{ANB}=90^o,NF\perp AB\left(cmt\right)\)\(\Rightarrow AN^2=AF.AB\)(hệ thức lượng trong tam giác vuông)(1)
Chứng minh tương tự với \(\Delta AMC\) ta có: \(AM^2=AE.AC\)(2)
Chứng minh \(\Delta AEF~\Delta ABC\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AB}{AC}\Rightarrow AE.AC=AB.AF\)(3)
Từ (1), (2), (3) ta được AM = AN
.