Question

Lấy điểm C nằm giữa hai điểm A và B. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB và hai tam giác đều ACD và BCE. Gọi M, N là trung điểm của AE và BD. Chứng minh:

a) AE = BD

b) Tam giác CME = tam giác CMB

c) Tam giác MNC đều

Answer 1

a) Ta có : \(\widehat{ACD}\) = 600 ( tính chất tam giác đều )

\(\widehat{ACE}=\widehat{ACD}+\widehat{DCE}\)

=> \(\widehat{ACE}=60^0+\widehat{DCE}\)

\(\widehat{BCE}\) = 600 ( tính chất tam giác đều )

\(\widehat{DCB}=\widehat{DCE}+\widehat{BCE}=60^0+\widehat{DCE}\)

Do đó : \(\widehat{ACE}=\widehat{DCB}=60^0+\widehat{DCE}\)

Xét \(\Delta\) ACE và \(\Delta\) DCB có :

AC = DC (tính chất tam giác đều )

\(\widehat{ACE}=\widehat{DCB}\) (chứng minh trên )

CE = CB ( tính chất tam giác đều )

=> \(\Delta\) ACE = \(\Delta\) DCB ( c-g-c )

=> AE = BD ( cặp cạnh tương ứng )

b) Sửa đề: Tam giác CME = tam giác CNB

Vì M là trung điểm của AE

=> AM = ME = \(\frac{1}{2}\).AE (1)

Vì N là trung điểm của BD

=> BN = DN = \(\frac{1}{2}\). BD (2)

Theo câu a : AE = BD (3)

Từ (1),(2),(3) ta có : ME = BN

Theo câu a : \(\Delta\) ACE = \(\Delta\) DCB

=> \(\widehat{AEC}=\widehat{DBC}\) ( cặp góc tương ứng )

Xét \(\Delta\) CME và \(\Delta\) CNB có :

ME = NB ( chứng minh trên )

\(\widehat{MEC}=\widehat{NBC}\) ( chứng minh trên )

CE = CB ( tính chất tam giác đều )

=> \(\Delta\) CME = \(\Delta\) CNB ( c-g-c)

c) Theo câu b : \(\Delta\) CME = \(\Delta\) CNB

=> MC = NC (4)

và \(\widehat{MCE}=\widehat{NCB}\)

Ta có : \(\widehat{MCN}=\widehat{MCE}+\widehat{NCE}\)

mà \(\widehat{MCE}=\widehat{NCB}\)

=> \(\widehat{MCN}=\widehat{NCB}+\widehat{NCE}=\widehat{BCE}\)

mà \(\widehat{BCE}=60^0\) ( tính chất tam giác đều )

=> \(\widehat{MCN}=60^0\) (5)

Từ (4) và (5) suy ra : \(\Delta\) MNC là tam giác đều

=> ĐPCM

Answer 2

a) Ta có : \(\widehat{ACD}\) = 60⁰ ( tính chất tam giác đều )

\(\widehat{ACE}=\widehat{ACD}+\widehat{DCE}\)

=> \(\widehat{ACE}=60^0+\widehat{DCE}\)

\(\widehat{BCE}\) = 60⁰ ( tính chất tam giác đều )

\(\widehat{DCB}=\widehat{DCE}+\widehat{BCE}=60^0+\widehat{DCE}\)

Do đó : \(\widehat{ACE}=\widehat{DCB}=60^0+\widehat{DCE}\)

Xét \(\Delta\) ACE và \(\Delta\) DCB có :

AC = DC (tính chất tam giác đều )

\(\widehat{ACE}=\widehat{DCB}\) (chứng minh trên )

CE = CB ( tính chất tam giác đều )

=> \(\Delta\) ACE = \(\Delta\) DCB ( c-g-c )

=> AE = BD ( cặp cạnh tương ứng )

b) Sửa đề: Tam giác CME = tam giác CNB

Vì M là trung điểm của AE

=> AM = ME = \(\frac{1}{2}\).AE (1)

Vì N là trung điểm của BD

=> BN = DN = \(\frac{1}{2}\). BD (2)

Theo câu a : AE = BD (3)

Từ (1),(2),(3) ta có : ME = BN

Theo câu a : \(\Delta\) ACE = \(\Delta\) DCB

=> \(\widehat{AEC}=\widehat{DBC}\) ( cặp góc tương ứng )

Xét \(\Delta\) CME và \(\Delta\) CNB có :

ME = NB ( chứng minh trên )

\(\widehat{MEC}=\widehat{NBC}\) ( chứng minh trên )

CE = CB ( tính chất tam giác đều )

=> \(\Delta\) CME = \(\Delta\) CNB ( c-g-c)

c) Theo câu b : \(\Delta\) CME = \(\Delta\) CNB

=> MC = NC (4)

và \(\widehat{MCE}=\widehat{NCB}\)

Ta có : \(\widehat{MCN}=\widehat{MCE}+\widehat{NCE}\)

mà \(\widehat{MCE}=\widehat{NCB}\)

=> \(\widehat{MCN}=\widehat{NCB}+\widehat{NCE}=\widehat{BCE}\)

mà \(\widehat{BCE}=60^0\) ( tính chất tam giác đều )

=> \(\widehat{MCN}=60^0\) (5)

Từ (4) và (5) suy ra : \(\Delta\) MNC là tam giác đều

=> ĐPCM