Cho hai đường tròn (O;R) và (O;R') cắt nhau tại A và B (R>R' góc OAO' > 90). Đường kính CA của (O) cắt (O') tại E. Đường kính DA của (O') cắt (O) tại F. Điểm H trên tia CF sao cho CH=AF. Đường thẳng song song AD đi qua H và tiếp tuyến với (O) ở C cắt nhau tại K. Nối DK cắt BA ở I. Tiếp tuyến của (O') tại D cawts CI ở J
a)CM: C,B,D thẳng hàng và tia BA là tia phân giác của góc EBF
b)CM: HK=FC và góc KCF= góc EBD
c)CM: tam giác ADJ cân
Ờm hình bạn tự vẽ nha, à mà mình chỉ làm tới câu b thôi
a, Gọi giao điểm của AC và BF là M, giao điểm của AD và BE là G
(O;R) có: \(\widehat{ABC}=\widehat{ABD}=90^o\)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Ta có: \(\widehat{ABC}+\widehat{ABD}=\widehat{CBD}\)
hay \(90^o+90^o=\widehat{CBD}\)\(\Rightarrow\widehat{CBD}=180^o\)nên C,B,D thẳng hàng
Ta có: \(\widehat{AEB}=\widehat{AFB}\)(cùng chắn \(\stackrel\frown{AB}\)) (1)
(O;R) có: \(AD\perp BE,AD\cap BE=\left\{G\right\},AD=2R\)\(\Rightarrow BG=GE\)(liên hệ giữa cung và dây)
\(\Delta ABE\) có AG vừa là trung tuyến, vừa là đường cao nên \(\Delta ABE\)cân tại A nên \(\widehat{ABE}=\widehat{AEB}\)(2)
Chứng minh tương tự ta được \(\Delta AFB\)cân tại A nên \(\widehat{AFB}=\widehat{ABF}\)(3)
Từ (1), (2), (3) ta được \(\widehat{ABE}=\widehat{ABF}\)nên BA là phân giác của \(\widehat{EBF}\)
b, (O;R) có: \(\widehat{FAC}=\dfrac{1}{2}\stackrel\frown{FC},\widehat{KCF}=\dfrac{1}{2}\stackrel\frown{FC}\)(góc nội tiếp = 1/2 cung) \(\Rightarrow\widehat{KCF}=\widehat{FAC}\)
Xét \(\Delta KHC\) và \(\Delta CFA\) có:
\(HC=AF\left(gt\right)\)
\(\widehat{KHC}=\widehat{CFA}=90^o\)
\(\widehat{HCK}=\widehat{FAC}\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow\Delta KHC=\Delta CFA\left(g-c-g\right)\Rightarrow HK=FC\)
Ta có: \(\widehat{ABE}+\widehat{EBD}=90^o\)mà \(\widehat{ABE}=\widehat{ABF}\)nên \(\widehat{EBD}+\widehat{ABF}=90^o\)mà \(\widehat{AFB}=\widehat{ABF}\)nên \(\widehat{EBD}+\widehat{AFB}=90^o\)
\(\Delta MFA\) có: \(\widehat{FMA}=90^o\)\(\Rightarrow\widehat{MFA}+\widehat{MAF}=90^o\)
Từ 2 điều trên ta được \(\widehat{EBD}=\widehat{MAF}\)mà \(\widehat{KCF}=\widehat{CAF}\)nên \(\widehat{KCF}=\widehat{EBD}\)
