Question

Tìm tất cả các số nguyên tố p để 4p+1 là lập phương của một số tự nhiên

Answer 1

Đặt \(4p+1=k^3\left(k\in N\right)\)

Lúc này \(4p=k^3-1=\left(k-1\right)\left(k^2+k+1\right)\circledast\)

Xét \(p=2\Rightarrow loai\)

Xét \(p>2\) suy ra \(p\) là số nguyên tố lẻ.

Mà \(k^2+k+1=k\left(k+1\right)+1\) luôn lẻ.

Do đó từ \(\circledast\) suy ra \(\left\{{}\begin{matrix}k-1=4\\k^2+k+1=p\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}k=5\\p=31\end{matrix}\right.\)\(\left(TMDK\right)\)

Vậy \(p=31\) là giá trị cần tìm.