Question

Cho Parabol (P): \(y=-x^2\) và đường thẳng (d): \(y=2x+m-1\).Tìm các giá trị của m để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ \(x_1,x_2\) thỏa mãn \(x_1^3-x_2^3+x_1x_2=4\).

Answer 1

Pt hoành độ giao điểm: \(x^2+2x+m-1=0\) (1)

Để (P) cắt d tại 2 điểm phân biệt \(\Rightarrow\left(1\right)\) có 2 nghiệm phân biệt

\(\Delta'=1-\left(m-1\right)=2-m>0\Rightarrow m< 2\)

Khi đó theo Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-2\\x_1x_2=m-1\end{matrix}\right.\)

\(x^3_1-x_2^3+x_1x_2=4\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)\left(\left(x_1+x_2\right)^2-x_1x_2\right)+x_1x_2=4\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)\left(5-m\right)+m-1=4\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)\left(5-m\right)-\left(5-m\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(5-m\right)\left(x_1-x_2-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x_1-x_2=1\) (do \(m< 2\Rightarrow5-m\ne0\))

Ta được hệ: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-2\\x_1-x_2=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{-1}{2}\\x_2=\dfrac{-3}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow m=1+x_1x_2=\dfrac{7}{4}\)