Cho đường tròn (O) đường kính AB =2R. Lấy C trên đường tròn (O) sao cho AC=R và lấy điểm M bất kì trên cung nhỏ BC (\(M\ne B,C\)).Gọi H là giao điểm của AM và BC, đường thẳng AC cắt đường thẳng BM tại D.
1)Chứng minh rằng bốn ddiemr C,D,M,H cùng thuộc một đường tròn.
2)DH cắt AB tại K.Chứng minh rằng DK vuông góc với AB.
3)Chứng minh rằng ∠CKM=∠COM và tâm của đưuòng tròn ngoại tiếp tam giác CKM nằm trên đưuòng trung trực của OC
1 . Ta có AB là đường kính của (O)
\(\Rightarrow BC\perp CA,AM\perp BM\Rightarrow\widehat{HMB}=\widehat{HCD}=90^0\)
\(\Rightarrow HMDC\) nội tiếp
\(\Rightarrow C,D,M,H\) cùng thuộc một đường tròn.
2 . Ta có :
\(BC\perp AD,AM\perp BD,BC\cap AM=H\) \(\Rightarrow H\) là trực tâm \(\Delta DAB\)
\(\Rightarrow DK\perp AB\)
3 . Chứng minh tương tự câu a ) \(\Rightarrow HKAC,HKBM\) nội tiếp
\(\Rightarrow\widehat{HKC}=\widehat{HAC}=\widehat{CAM}=\frac{1}{2}\widehat{COM}\)
Tương tự ta có : \(\widehat{MKH}=\frac{1}{2}\widehat{COM}\)
\(\Rightarrow\widehat{CKM}=\widehat{CKH}+\widehat{HKM}=\frac{1}{2}\widehat{COM}=\frac{1}{2}\widehat{COM}=\widehat{COM}\)
Vì \(\widehat{CKM}=\widehat{COM}\Rightarrow CMKO\) nội tiếp
\(\Rightarrow\) Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác CKM là tâm đường tròn ngoại tiếp ◊CMKO\(\Rightarrow\)tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác CKM nằm trên trung trực của OC
